% --- 作业标题栏 ---
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
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    \large 作业 31 参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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% --- 作业问题 ---
\section*{第七章 刚体力学}

\paragraph{4.} 陀螺以常速绕第3轴自转，同时第3轴以常速绕惯性系 $z$ 轴进动，两个轴的夹角保持为常数 $\theta$. 求总角速度的大小和方向. 

\begin{solution}
    设惯性系 $z$ 轴的单位矢量为 $\bm{k}$，刚体第3轴（对称轴）的单位矢量为 $\bm{e}_3$. 
    根据题意，进动角速度为 $\bm{\omega}_p = \omega_p \bm{k}$，自转角速度为 $\bm{\omega}_s = \omega_s \bm{e}_3$. 
    且两个轴的夹角为 $\theta$，即 $\bm{k} \cdot \bm{e}_3 = \cos\theta$. 
    
    总角速度 $\bm{\omega}$ 为进动角速度与自转角速度的矢量和：
    $$ \bm{\omega} = \bm{\omega}_p + \bm{\omega}_s = \omega_p \bm{k} + \omega_s \bm{e}_3 $$
    
    \textbf{1. 总角速度的大小：}
    利用余弦定理计算矢量模长：
    $$ \omega = |\bm{\omega}| = \sqrt{(\omega_p \bm{k} + \omega_s \bm{e}_3) \cdot (\omega_p \bm{k} + \omega_s \bm{e}_3)} $$
    展开得：
    $$ \omega = \sqrt{\omega_p^2 + \omega_s^2 + 2\omega_p \omega_s (\bm{k} \cdot \bm{e}_3)} = \sqrt{\omega_p^2 + \omega_s^2 + 2\omega_p \omega_s \cos\theta} $$
    
    \textbf{2. 总角速度的方向：}
    总角速度 $\bm{\omega}$ 位于由进动轴 $\bm{k}$ 和自转轴 $\bm{e}_3$ 构成的平面内. 
    我们可以用 $\bm{\omega}$ 与第3轴（自转轴 $\bm{e}_3$）的夹角 $\alpha$ 来描述其方向. 
    $$ \cos\alpha = \frac{\bm{\omega} \cdot \bm{e}_3}{|\bm{\omega}|} = \frac{(\omega_p \bm{k} + \omega_s \bm{e}_3) \cdot \bm{e}_3}{\omega} = \frac{\omega_p \cos\theta + \omega_s}{\sqrt{\omega_p^2 + \omega_s^2 + 2\omega_p \omega_s \cos\theta}} $$
    或者用正弦值表示（利用叉乘）：
    $$ |\bm{\omega} \times \bm{e}_3| = |\omega_p \bm{k} \times \bm{e}_3| = \omega_p \sin\theta $$
    $$ \sin\alpha = \frac{\omega_p \sin\theta}{\sqrt{\omega_p^2 + \omega_s^2 + 2\omega_p \omega_s \cos\theta}} $$
    即方向与自转轴夹角为 $\alpha = \arcsin\left( \frac{\omega_p \sin\theta}{\omega} \right)$. 
\end{solution}

\paragraph{5.} 半径为 $R$ 的非均匀球，密度分布为 $$\rho=\rho_{0}\left(1-a\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),$$其中 $r$ 表示到球心的距离，$\rho_0$ 和 $a$ 是常数. 取球面上的一个点为基点，求主转动惯量. 

\begin{solution}
    设球心为 $C$，基点为 $P$（位于球面上，即 $CP=R$）. 
    由于球具有球对称性，球心 $C$ 处的惯量张量是对角的，且三个主转动惯量相等，记为 $I_{C}$. 
    
    \textbf{1. 计算球的质量 $M$：}
    $$ M = \int_V \rho dV = \int_0^R \rho_0 \left(1 - a\frac{r^2}{R^2}\right) 4\pi r^2 dr $$
    $$ M = 4\pi\rho_0 \int_0^R \left(r^2 - \frac{a}{R^2}r^4\right) dr = 4\pi\rho_0 \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{a}{R^2}\frac{r^5}{5} \right]_0^R $$
    $$ M = 4\pi\rho_0 R^3 \left( \frac{1}{3} - \frac{a}{5} \right) = \frac{4\pi\rho_0 R^3 (5-3a)}{15} $$
    
    \textbf{2. 计算绕球心任意轴的转动惯量 $I_C$：}
    对于球对称分布，绕球心任意轴的转动惯量为 $I_{zz} = \int \frac{2}{3}r^2 dm$. 
    $$ I_C = \int_0^R \frac{2}{3}r^2 \cdot \rho(r) 4\pi r^2 dr = \frac{8\pi\rho_0}{3} \int_0^R r^4 \left(1 - a\frac{r^2}{R^2}\right) dr $$
    $$ I_C = \frac{8\pi\rho_0}{3} \int_0^R \left(r^4 - \frac{a}{R^2}r^6\right) dr = \frac{8\pi\rho_0}{3} \left[ \frac{r^5}{5} - \frac{a}{R^2}\frac{r^7}{7} \right]_0^R $$
    $$ I_C = \frac{8\pi\rho_0 R^5}{3} \left( \frac{1}{5} - \frac{a}{7} \right) = \frac{8\pi\rho_0 R^5 (7-5a)}{105} $$
    
    \textbf{3. 计算基点 $P$ 处的主转动惯量：}
    取 $P$ 为原点，建立坐标系. 取 $z'$ 轴沿 $PC$ 连线方向，$x', y'$ 轴在切平面内. 
    由于系统的对称性，$PC$ 连线是主轴方向之一 另外两个垂直于 $PC$ 的轴也是主轴. 
    
    利用平行轴定理：
    \begin{itemize}
        \item 对于沿 $PC$ 连线的轴：
        该轴通过质心 $C$，故转动惯量不变. 
        $$ I_3 = I_C = \frac{8\pi\rho_0 R^5 (7-5a)}{105} $$
        
        \item 对于垂直于 $PC$ 的轴
        轴到质心的距离 $d = R$. 
        $$ I_1 = I_2 = I_C + M R^2 $$
        代入 $M$ 和 $I_C$ 的表达式：
        $$ I_1 = \frac{8\pi\rho_0 R^5 (7-5a)}{105} + \left[ \frac{4\pi\rho_0 R^3 (5-3a)}{15} \right] R^2 $$
        $$ I_1 = \frac{4\pi\rho_0 R^5}{105} \left[ 2(7-5a) + 7(5-3a) \right] $$
        $$ I_1 = \frac{4\pi\rho_0 R^5}{105} \left[ 14 - 10a + 35 - 21a \right] = \frac{4\pi\rho_0 R^5 (49-31a)}{105} $$
    \end{itemize}
    
    \textbf{结果：}
    主转动惯量为 $I_1 = I_2 = \frac{4\pi\rho_0 R^5 (49-31a)}{105}$， $I_3 = \frac{8\pi\rho_0 R^5 (7-5a)}{105}$. 
\end{solution}

\paragraph{6.} 以质心为基点，自由刚体（指不受外力的刚体）的主转动惯量为 $I_1, I_2, I_3$. 
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 取欧拉角为广义坐标，写出拉氏函数. 
    \item[(2)] 写出哈密顿函数. 
    \item[(3)] 写出正则方程. 
\end{enumerate}

\begin{solution}
    \textbf{(1) 拉氏函数}
    
    自由刚体不受外力，势能 $V=0$. 拉氏函数等于动能 $T$. 
    以欧拉角 $(\psi, \theta, \phi)$为广义坐标. 
    角速度在体坐标系（主轴系）下的分量 $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ 与欧拉角的关系为：
    $$ \begin{cases}
    \omega_1 = \dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi \\
    \omega_2 = \dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi \\
    \omega_3 = \dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi}
    \end{cases} $$
    拉氏函数为：
    $$ L = T = \frac{1}{2}I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2}I_2 \omega_2^2 + \frac{1}{2}I_3 \omega_3^2 $$
    $$ L = \frac{1}{2}I_1 (\dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi)^2 + \frac{1}{2}I_2 (\dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi)^2 + \frac{1}{2}I_3 (\dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi})^2 $$

    \textbf{(2) 哈密顿函数}
    
    首先求广义动量：
    $$ p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = I_1 \omega_1 \cos\psi - I_2 \omega_2 \sin\psi $$
    $$ p_\psi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} = I_3 \omega_3 $$
    $$ p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = I_1 \omega_1 \sin\theta\sin\psi + I_2 \omega_2 \sin\theta\cos\psi + I_3 \omega_3 \cos\theta $$
    
    为了写出哈密顿函数，需要将 $\omega_i$ 用 $p_i$ 表示. 
    引入中间变量 $L_1 = I_1 \omega_1, L_2 = I_2 \omega_2, L_3 = I_3 \omega_3$（角动量在体轴上的投影），则哈密顿量形式为：
    $$ H = T = \frac{L_1^2}{2I_1} + \frac{L_2^2}{2I_2} + \frac{L_3^2}{2I_3} $$
    利用上述动量关系解出 $L_i$：
    $$ L_3 = p_\psi $$
    由 $p_\phi - p_\psi \cos\theta = (L_1 \sin\psi + L_2 \cos\psi)\sin\theta$，结合 $p_\theta = L_1 \cos\psi - L_2 \sin\psi$，解得：
    $$ L_1 = \frac{p_\phi - p_\psi \cos\theta}{\sin\theta}\sin\psi + p_\theta \cos\psi $$
    $$ L_2 = \frac{p_\phi - p_\psi \cos\theta}{\sin\theta}\cos\psi - p_\theta \sin\psi $$
    代入 $H$ 表达式，得到哈密顿函数：
    \begin{align*} H(q, p) = &\frac{1}{2I_1} \left( \frac{p_\phi - p_\psi \cos\theta}{\sin\theta}\sin\psi + p_\theta \cos\psi \right)^2 \\
        &+ \frac{1}{2I_2} \left( \frac{p_\phi - p_\psi \cos\theta}{\sin\theta}\cos\psi - p_\theta \sin\psi \right)^2 + \frac{p_\psi^2}{2I_3} \end{align*}

    \textbf{(3) 正则方程}
    
    哈密顿正则方程为 $\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$. 
    
    1. 坐标演化方程（即角速度与动量的关系反解）：
    $$ \dot{\phi} = \frac{\partial H}{\partial p_\phi}, \quad \dot{\theta} = \frac{\partial H}{\partial p_\theta}, \quad \dot{\psi} = \frac{\partial H}{\partial p_\psi},$$
    这里省略了展开形式.
    
    2. 动量演化方程：
    $$ \dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0  $$
    $$ \dot{p}_\theta = -\frac{\partial H}{\partial \theta} $$
    $$ \dot{p}_\psi = -\frac{\partial H}{\partial \psi} $$
\end{solution}