% --- 作业标题栏 ---
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
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    \large 作业11  参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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% --- 作业问题 ---
\section*{第三章 变分法与最小作用量原理}

\paragraph{1. 牛顿最小阻力体}
1685年，牛顿研究了物体在不可压缩流体中的运动. 物体的表面被设计成旋转曲面，同时出于装载货物之类的考虑，旋转体的长度取定为L，尾部半径为R. 假设物体相对于流体以匀速运动，现需要确定阻力最小的物体形状. 

假设流体粒子在与表面作弹性碰撞后被弹开，忽略粘滞力和尾流阻力之类的影响. 阻力将只与物体的几何形状有关. 

求物体受到的阻力F与旋转曲面的母线 $y=y(x)$ 之间的关系 $F=F[y]$. 

\begin{solution}
    这里是根据作业12题号3“可变边界”来建系的方法，作业12的答案中将以这种方法的结果为准求变分. 我们假设旋转体的母线方程为 $y = y(x)$，\textbf{且是绕 $y$ 轴旋转，速度方向为 $-\hat{\vec{y}}$.} 物体的长度为 $L$，尾部 $y = L$ 半径为 $R$，头部 $y = 0$ 半径为 $r$. 则头部有阻力：
    \[
        F_1 = 2\rho u^2A = 2\rho u^2 \pi r^2,
    \]
    （按照更一般的理论来说这里应该有一个比例系数 $C$，此答案助教参考了上一年助教的结果，取为 $2$）. 

    设夹角 $\theta$ 满足 $y' = \tan \theta$，则侧壁环带面积元为：
    \[
        \dd A = 2\pi x \dd s = 2\pi x \sqrt{1+y'^2} \dd y.
    \]
    侧壁受力元为：
    \[
        \dd F_2 = p\dd A = 2\rho (u\cos\theta)^2 \cos \theta \cdot 2\pi x \sqrt{1+y'^2} \dd y.
    \]
    积分得到：
    \[
        F_2 = 4\pi \rho u^2 \int_r^{R} \dfrac{x}{1+y'^2} \dd x.
    \]
    物体所受阻力：
    \[
        F = 2\pi\rho u^2 \left[r^2 + \int_r^R \dfrac{2x}{1+y'^2}\dd x \right].
    \]
\end{solution}

\begin{solution}
这里是第二种建系方法：按照朱老师的意思：本题在 $x=0$ 处的半径 $r = y(0)$ 是一个可变的端点，而不是固定的 $y(0)=0$. 总阻力 $F$ 是 $x=0$ 处平坦鼻锥的阻力 $F_{\text{nose}}$ 和 $x \in [0, L]$ 处旋转曲面侧壁阻力 $F_{\text{side}}$ 的总和. 

$$ F[y] = F_{\text{nose}} + F_{\text{side}}. $$

\paragraph{鼻锥阻力 $F_{\text{nose}}$}
根据牛顿的流体阻力模型，垂直于速度 $u$ 的平面所受的阻力 $F_{\text{nose}}$ 正比于流体密度 $\rho$、速度平方 $u^2$ 和平面面积 $A$. 
$$ F_{\text{nose}} = C \cdot \rho u^2 A = C \pi \rho u^2 r^2. $$
其中 $C$ 是一个阻力系数. 

\paragraph{侧壁阻力 $F_{\text{side}}$}
对于一个与 $x$ 轴夹角为 $\phi$ 的表面（$y' = \tan\phi$），压力 $p \propto \rho u^2 \sin^2\phi$. 此压力在 $x$ 方向的分量 $p_x = p \sin\phi$. 环带面积 $\dd A = 2\pi y ds = 2\pi y \sqrt{1+y'^2} dx$. 
$$ \dd F_{x} = p_x \dd A = ( \rho u^2 \cos^3\phi) (2\pi y \sec\phi \dd x). $$

带入 $y' = \tan \phi$，积分得到侧壁总阻力：
$$ F_{\text{side}}[y] = 2\pi \rho u^2 \int_0^L \frac{y y'^3}{1+y'^2} dx. $$

\paragraph{总阻力}
将两部分相加，令 $r = y(0),\, 2 \to $：
$$ F[y, r] = \pi \rho u^2 \int_0^L \frac{y y'^3}{1+y'^2} dx + C\pi \rho u^2 r^2 $$
$$ F[y] = \pi \rho u^2 \left[ \int_0^L \frac{y y'^3}{1+y'^2} dx + Cr^2 \right] $$
这个泛函是 $y(x)$ 和其端点值 $y(0)$ 的函数. 

\end{solution}

\hrule
\paragraph{2. 求泛函}
$$ \Phi[f]=\left\{\int_{0}^{1}f(\sqrt{x})dx\right\}\left\{\int_{0}^{1}(f(x)+1)^{2}dx\right\} $$
的变分 $\delta\Phi$. 

\begin{solution}
我们对泛函 $\Phi[f]$ 求变分，它是一个乘积形式 $\Phi = A \cdot B$. 
$$ \delta\Phi = (\delta A) B + A (\delta B) $$

\begin{enumerate}
    \item \textbf{计算 $\delta A$}:
    $$ A = \int_{0}^{1}f(\sqrt{x})dx $$
    令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$, $dx = 2u du$. 
    $$ A = \int_{0}^{1} f(u) (2u) du $$
    $$ \delta A = \int_{0}^{1} \delta f(u) (2u) du $$
    换回 $x$ 变量（$u \to x$）：
    $$ \delta A = \int_{0}^{1} \delta f(x) (2x) dx $$
    
    \item \textbf{计算 $\delta B$}:
    $$ B = \int_{0}^{1}(f(x)+1)^{2}dx $$
    $$ \delta B = \int_{0}^{1} 2(f(x)+1) \delta f(x) dx $$
\end{enumerate}
    
\textbf{组合 $\delta\Phi$}:
\begin{align*}
    \delta\Phi =& \left\{\int_{0}^{1} \delta f(x) (2x) dx \right\} \left\{\int_{0}^{1}[f(x)+1]^{2}dx\right\}\\
    & + \left\{\int_{0}^{1}f(\sqrt{x})dx\right\} \left\{\int_{0}^{1}2[f(x)+1]\delta f(x)dx\right\}
\end{align*}
\end{solution}