
\documentclass[10pt, aspectratio=169]{beamer}

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\usepackage{physics} % 提供 \vb, \dd, \pdv 等物理常用命令
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% --- 自定义命令 ---
\newcommand{\Lg}{\mathcal{L}} % 拉格朗日量
\newcommand{\Ham}{\mathcal{H}} % 哈密顿量
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}

% --- 标题信息 ---
\title[Theoretical Mechanics Review]{Theoretical Mechanics: Midterm Review}
\subtitle{Chapters 1-4 Recitation}
\author{Hongfei Yu}
\institute{School of Physical Science, USTC}
\date{\today}

\begin{document}

% --- 标题页 ---
\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% --- 目录 ---
\begin{frame}{复习提纲}
    \tableofcontents
\end{frame}

% =================================================================
% 第一部分：达朗贝尔原理
% =================================================================
\section{d'Alembert 原理}

\begin{frame}{1. 达朗贝尔原理 (d'Alembert's Principle)}
    \begin{block}{核心表述}
        对于具有理想约束的质点系，在任意时刻，作用在系统上的\textbf{主动力}与\textbf{惯性力}在任意\textbf{虚位移}上所做的虚功之和为零。
        \begin{equation*}
            \sum_{i=1}^{N} (\vb{F}_i - m_i \ddot{\vb{r}}_i) \cdot \delta \vb{r}_i = 0
        \end{equation*}
    \end{block}

    \begin{itemize}
        \item \textbf{虚位移} $\delta \vb{r}_i$：在时间 $t$ 冻结的情况下 ($\delta t = 0$)，符合约束条件的微小位移。
        \item \textbf{理想约束}：约束力不做功 ($\sum \vb{R}_i \cdot \delta \vb{r}_i = 0$)，例如光滑表面、不可伸长的轻绳、刚性杆等。
        \item \textbf{静力学特例}：当 $\ddot{\vb{r}}_i = 0$ 时，退化为虚功原理 $\sum \vb{F}_i \cdot \delta \vb{r}_i = 0$。
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{典型应用：虚功原理求平衡位置}
    \textbf{例题回顾（期中样卷，作业06-9题）：} 弹性圆环套在光滑圆锥上，求平衡高度。
    
    \begin{columns}
        \column{0.6\textwidth}
        \textbf{解题思路：}
        \begin{enumerate}
            \item 选取广义坐标（如高度 $z$）。
            \item 写出系统的总势能 $V = V_{\text{重力}} + V_{\text{弹性}}$。
            \item 利用虚功原理（保守系统即势能极值条件）：
            $$ \delta W = -\delta V = -\frac{\dd V}{\dd z} \delta z = 0 $$
            \item 解出 $\frac{\dd V}{\dd z} = 0$ 对应的 $z$。
        \end{enumerate}
        \column{0.4\textwidth}
        \centering
        % 简单的示意图
        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
            \draw (0,0) -- (1.5,3) -- (-1.5,3) -- cycle;
            \draw[dashed] (0,0) -- (0,3);
            \draw[red, thick] (0, 1.5) ellipse (0.75 and 0.2);
            \node at (1, 1.5) {$z$};
        \end{tikzpicture}
    \end{columns}
\end{frame}

% =================================================================
% 第二部分：拉格朗日方程
% =================================================================
\section{Lagrange 方程（必考）}

\begin{frame}{2. 拉格朗日方程 (Lagrange Equations)}
    \begin{alertblock}{标准形式（完整、保守系统）}
        \begin{equation*}
            \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\partial \Lg}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial \Lg}{\partial q_\alpha} = 0, \quad \Lg = T - V
        \end{equation*}
    \end{alertblock}
    
    \textbf{解题“四步走”：}
    \begin{enumerate}
        \item \textbf{定坐标}：选择独立、合适的广义坐标 $q_1, \dots, q_k$（自由度分析）。
        \item \textbf{写动能}：$T = \sum \frac{1}{2} m_i \vb{v}_i^2$，注意在曲线坐标系（极坐标、球坐标）下的速度形式。
        \item \textbf{写势能}：$V = V(q_1, \dots, q_k)$。
        \item \textbf{求导数}：准确计算偏导数 $\pdv{\Lg}{\dot{q}}$ 和 $\pdv{\Lg}{q}$。
    \end{enumerate}

    \vspace{0.5em}
    \footnotesize{注：若存在非保守力（如阻力），方程右边为广义力 $Q_\alpha$。}
\end{frame}

\begin{frame}{难点突破：含时约束与速度势}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{广义势 (Generalized Potential)}：若广义力 $Q_\alpha$ 可由 $U(q, \dot{q}, t)$ 导出：
        $$ Q_\alpha = \frac{\dd}{\dd t}\left(\pdv{U}{\dot{q}_\alpha}\right) - \pdv{U}{q_\alpha} $$
        则拉氏量修正为 $\Lg = T - V - U$。\\
        \textbf{经典例子}：电磁场中的带电粒子，$\Lg = -mc^2\sqrt{1-v^2/c^2} - q\phi + q\vb{A}\cdot\vb{v}$（参考作业17-19题）。
        
        \item \textbf{Ritz 变分法（作业15-15题）}：
        当无法精确求解时，假设 $q(t) \approx \sum a_n t^n$，将泛函 $S[q]$ 转化为函数 $S(a_0, a_1, \dots)$ 的极值问题。
    \end{itemize}
\end{frame}

% =================================================================
% 第三部分：首次积分
% =================================================================
\section{首次积分与守恒律}

\begin{frame}{3. 首次积分 (First Integrals)}
    \begin{block}{循环坐标 $\to$ 广义动量守恒}
        若 $\Lg$ 中不显含 $q_\alpha$（即 $\pdv{\Lg}{q_\alpha} = 0$），则称 $q_\alpha$ 为\textbf{循环坐标}。
        $$ p_\alpha = \frac{\partial \Lg}{\partial \dot{q}_\alpha} = \text{常数} $$
    \end{block}

    \begin{block}{时间平移对称性 $\to$ 广义能量守恒}
        若 $\Lg$ 中不显含时间 $t$（即 $\pdv{\Lg}{t} = 0$），则\textbf{雅可比积分}（广义能量）守恒：
        $$ h = \sum_\alpha \dot{q}_\alpha \frac{\partial \Lg}{\partial \dot{q}_\alpha} - \Lg = \text{常数} $$
    \end{block}
    
    \textbf{注意}：$h$ 等于机械能 $E=T+V$ 的条件是：
    1. 势能 $V$ 与速度无关；
    2. 坐标变换关系 $\vb{r} = \vb{r}(q)$ 不显含时间（定常约束）。
\end{frame}

\begin{frame}{诺特定理 (Noether's Theorem)}
    \textbf{核心思想：} 每一个连续的对称性都对应一个守恒量。
    
    \begin{itemize}
        \item \textbf{空间平移} $\vb{r} \to \vb{r} + \bm{\epsilon}$ $\Longrightarrow$ 动量守恒
        \item \textbf{空间转动} $\vb{r} \to \vb{r} + \bm{\epsilon} \times \vb{r}$ $\Longrightarrow$ 角动量守恒（参考作业17题鱼眼透镜）
        \item \textbf{时间平移} $t \to t + \epsilon$ $\Longrightarrow$ 能量守恒
        \item \textbf{尺度变换}（如 Lane-Emden 方程，作业17-1题） $\Longrightarrow$ 维里定理相关守恒量
    \end{itemize}
    
    \textbf{公式记忆：} $I = \sum \pdv{\Lg}{\dot{q}_\alpha}\xi_\alpha - \Lg \tau_0$ （简略形式）
\end{frame}

% =================================================================
% 第四部分：非完整系统
% =================================================================
\section{非完整系统}

\begin{frame}{4. 非完整系统 (Non-holonomic Systems)}
    \begin{block}{定义}
        约束方程中含有广义速度，且\textbf{不可积}（不能化为坐标的几何约束）。
        形式通常为线性微分形式：
        $$ \sum_{\alpha} a_{\beta \alpha} \dot{q}_\alpha + a_{\beta 0} = 0 \quad (\beta = 1, \dots, m) $$
    \end{block}
    \textbf{典型例子}：纯滚动（车轮不打滑）、冰刀滑行（速度沿冰刀方向）。

    \begin{block}{拉格朗日乘子法}
        引入乘子 $\lambda_\beta$，方程变为：
        $$ \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\partial \Lg}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial \Lg}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha + \sum_{\beta} \lambda_\beta a_{\beta \alpha} $$
    \end{block}
    \textbf{易错点}：\red{绝对不能}先将非完整约束代入 $\Lg$ 再求导，必须在方程中引入约束力。
\end{frame}

% =================================================================
% 第五部分：耗散系统
% =================================================================
\section{耗散系统}

\begin{frame}{5. 耗散系统 (Dissipative Systems)}
    \begin{block}{瑞利耗散函数 (Rayleigh Dissipation Function)}
        对于与速度成正比的粘滞阻力 $\vb{f} = -k\vb{v}$，定义耗散函数：
        $$ \mathcal{F} = \frac{1}{2} \sum_{i,j} k_{ij} \dot{q}_i \dot{q}_j $$
        广义耗散力为 $Q_\alpha = -\pdv{\mathcal{F}}{\dot{q}_\alpha}$。
    \end{block}

    \begin{block}{修正的拉格朗日方程}
        $$ \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\partial \Lg}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial \Lg}{\partial q_\alpha} + \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{q}_\alpha} = 0 $$
    \end{block}
    
    \textbf{能量耗散率}：$\frac{\dd h}{\dd t} = -2\mathcal{F}$（能量随时间单调递减）。
\end{frame}

% =================================================================
% 第六部分：哈密顿原理
% =================================================================
\section{哈密顿原理与变分法}

\begin{frame}{6. 哈密顿原理 (Hamilton's Principle)}
    \begin{block}{最小作用量原理}
        真实运动的路径使作用量泛函 $S$ 取驻值（通常是极小值）：
        $$ \delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} \Lg(q, \dot{q}, t) \dd t = 0 $$
        (需满足固定端点条件 $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$)
    \end{block}

    \begin{itemize}
        \item \textbf{莫培督原理 (Maupertuis Principle)}：
        对于保守系统（能量 $E$ 守恒），真实路径使约化作用量取驻值：
        $$ \delta W = \delta \int \vb{p} \cdot \dd \vb{q} = \delta \int \sqrt{2m(E-V)} \dd s = 0 \quad \text{(雅可比形式)} $$
        \item \textbf{应用}：几何光学与力学的类比（费马原理 vs 莫培督原理）。
        \item \textbf{考题映射}：作业17-4题（费马原理求光线轨迹）、作业15-19题（抛物运动的变分）。
    \end{itemize}
\end{frame}

% =================================================================
% 第七部分：高阶拉格朗日系统
% =================================================================
\section{高阶拉格朗日系统}

\begin{frame}{7. 高阶拉格朗日系统 (Higher-Order Systems)}
    若拉氏量依赖于高阶导数 $\Lg = \Lg(q, \dot{q}, \ddot{q}, \dots)$：
    
    \begin{block}{广义欧拉-拉格朗日方程}
        通过分部积分法推导（注意处理边界项 $\delta \dot{q}$）：
        $$ \frac{\partial \Lg}{\partial q} - \frac{\dd}{\dd t}\left(\frac{\partial \Lg}{\partial \dot{q}}\right) + \frac{\dd^2}{\dd t^2}\left(\frac{\partial \Lg}{\partial \ddot{q}}\right) - \dots = 0 $$
    \end{block}

    \textbf{物理背景}：
    \begin{itemize}
        \item 通常出现在弹性力学（梁的弯曲，势能依赖曲率 $\propto y''^2$）。
        \item 修正引力理论或某些场论模型。
    \end{itemize}
\end{frame}

% --- 总结与建议 ---
\begin{frame}{备考建议}
    \begin{enumerate}
        \item \textbf{坐标系选择}是关键：球坐标、柱坐标、椭圆坐标（两心问题）下的 $T$ 和 $V$ 要熟练写出。
        \item \textbf{约束分析}：
            \begin{itemize}
                \item 完整 vs 非完整（是否含速度且不可积？）
                \item 定常 vs 非定常（是否显含时间 $t$？）
            \end{itemize}
        \item \textbf{计算基本功}：偏导数不要算错，尤其是复合函数求导。
        \item \textbf{物理图像}：遇到复杂的数学题（如变分法），先想一下物理直觉（如光程最短、能量最低）。
        \item \textbf{复习作业}：重点关注作业中的“Ritz变分”、“中心势”、“非完整约束冰橇”等题目。
    \end{enumerate}
    
    \vspace{1em}
    \centering
    \Large \textbf{祝大家期中考试顺利！}
\end{frame}

\end{document}