% --- 作业标题栏 ---
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
    \vspace{0.1cm} \\
    \large 作业13  参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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\vspace{1cm}

% --- 作业问题 ---
\section*{第三章 变分法与最小作用量原理}

\paragraph{6. Dean Taylor 通胀 (inflation)的金融策略}
设社会损失函数为
$$ S[\pi]=\int_{0}^{T}\{\alpha\dot{\pi}^{2}+\beta(\dot{\pi}+\rho\pi)^{2}\}e^{-\mu t}dt,\alpha,\beta,\mu>0,0<\rho<1 $$
$\pi(0)=\pi_{0}$, $\pi(T)=0$. 求损失最小的预期通胀率$\pi(t)$. 

\begin{solution}
损失函数 $S[\pi]$ 是一个泛函，被积函数（拉格朗日量）为：
$$ L(t, \pi, \dot{\pi}) = \left[ \alpha\dot{\pi}^{2}+\beta(\dot{\pi}+\rho\pi)^{2} \right] e^{-\mu t} $$
$$ L = \left[ (\alpha+\beta)\dot{\pi}^2 + 2\beta\rho\pi\dot{\pi} + \beta\rho^2\pi^2 \right] e^{-\mu t} $$
损失最小的路径 $\pi(t)$ 满足欧拉-拉格朗日方程：
$$ \frac{\partial L}{\partial \pi} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\pi}} \right) = 0 $$
计算各项：
\begin{align*}
    \frac{\partial L}{\partial \pi} &= \left( 2\beta\rho\dot{\pi} + 2\beta\rho^2\pi \right) e^{-\mu t} \\
    \frac{\partial L}{\partial \dot{\pi}} &= \left( 2(\alpha+\beta)\dot{\pi} + 2\beta\rho\pi \right) e^{-\mu t}
\end{align*}
计算 $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\pi}})$:
\begin{align*}
    \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\pi}} \right) = & \frac{d}{dt}\left[ \left( 2(\alpha+\beta)\dot{\pi} + 2\beta\rho\pi \right) e^{-\mu t} \right] \\
    = & \left( 2(\alpha+\beta)\ddot{\pi} + 2\beta\rho\dot{\pi} \right) e^{-\mu t} + \left( 2(\alpha+\beta)\dot{\pi} + 2\beta\rho\pi \right) (-\mu e^{-\mu t})
\end{align*}
代入 E-L 方程，并消去 $2e^{-\mu t}$ 项：
$$ \left( \beta\rho\dot{\pi} + \beta\rho^2\pi \right) - \left[ (\alpha+\beta)\ddot{\pi} + \beta\rho\dot{\pi} - \mu(\alpha+\beta)\dot{\pi} - \mu\beta\rho\pi \right] = 0 $$
$$ -(\alpha+\beta)\ddot{\pi} + (\beta\rho - \beta\rho + \mu(\alpha+\beta))\dot{\pi} + (\beta\rho^2 + \mu\beta\rho)\pi = 0 $$
$$ -(\alpha+\beta)\ddot{\pi} + \mu(\alpha+\beta)\dot{\pi} + \beta\rho(\rho + \mu)\pi = 0 $$
最终 $\pi(t)$ 满足的欧拉方程为：
$$ (\alpha+\beta)\ddot{\pi} - \mu(\alpha+\beta)\dot{\pi} - \beta\rho(\rho + \mu)\pi = 0 $$
这是一个二阶常系数线性微分方程，其解（即损失最小的预期通胀率）可以通过求解该方程并代入边界条件 $\pi(0)=\pi_0, \pi(T)=0$ 来确定. 
\end{solution}

\hrule
\paragraph{7. 埃文斯垄断模型（G. C. Evans, Gerhard Tintner）}
  垄断企业生产一种商品，记单位时间的产量为 \( q(t) \)，单位时间的成本为
\[
a_2q^2 + a_1q + a_0 \quad (a_0, a_1, a_2 > 0)
\]
为了简化模型，假设企业能做到无库存运行，需求等于产量 \( q(t) \).   单位时间的需求 \( q(t) \) 依赖于定价 \( p(t) \)，设
\[
q(t) = b_0 - b_1p(t) + c\dot{p}(t)
\]
上式中 \( b_0 \) 代表与价格无关的刚性需求，\( b_1p(t) \) 项表示高价格会抑制需求。在预期商品将要降价时，一部分消费者会暂缓购买；预期提价则会使一些消费者决定立即购买。这个特点建模为 \( c\dot{p}(t) \) 项.   于是在固定的时间 \( T \) 内，企业获取的总利润为
\[
\Phi[p] = \int_{0}^{T} \{ p(t)q(t) - (a_2q(t)^2 + a_1q(t) + a_0) \} dt
\]
定价策略决定利润。求最佳定价策略 \( p(t) \). 
\begin{solution}
这是一个变分问题，拉格朗日量 $L$ 是被积函数. 首先将 $q$ 代入 $L$ 中：
$$ L(p, \dot{p}) = p(b_{0}-b_{1}p+c\dot{p}) - [a_{2}(b_{0}-b_{1}p+c\dot{p})^2 + a_{1}(b_{0}-b_{1}p+c\dot{p}) + a_{0}] $$
最佳定价策略 $p(t)$ 满足欧拉-拉格朗日方程：
$$ \frac{\partial L}{\partial p} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{p}} \right) = 0 $$
计算各项：
\begin{align*}
    \frac{\partial L}{\partial p} = & (b_0 - 2b_1 p + c\dot{p}) - \left[ a_2 \cdot 2(b_0-b_1p+c\dot{p})(-b_1) + a_1(-b_1) \right] \\
    = & (b_0 - 2b_1 p + c\dot{p}) + 2a_2b_1(b_0-b_1p+c\dot{p}) + a_1b_1 \\
    \\
    \frac{\partial L}{\partial \dot{p}} = & pc - \left[ a_2 \cdot 2(b_0-b_1p+c\dot{p})(c) + a_1(c) \right] \\
    = & pc - 2a_2c(b_0-b_1p+c\dot{p}) - a_1c
\end{align*}
计算 $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{p}})$:
\begin{align*}
    \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{p}} \right) = & \frac{d}{dt}\left[ pc - 2a_2c b_0 + 2a_2b_1c p - 2a_2c^2\dot{p} - a_1c \right] \\
    = & c\dot{p} + 2a_2b_1c \dot{p} - 2a_2c^2\ddot{p}
\end{align*}
代入 E-L 方程：
$$ (b_0 - 2b_1 p + c\dot{p}) + 2a_2b_1(b_0-b_1p+c\dot{p}) + a_1b_1 - (c\dot{p} + 2a_2b_1c \dot{p} - 2a_2c^2\ddot{p}) = 0 $$
$$ 2a_2c^2\ddot{p} + (c + 2a_2b_1c - c - 2a_2b_1c)\dot{p} + (-2b_1 - 2a_2b_1^2)p + (b_0 + 2a_2b_1b_0 + a_1b_1) = 0 $$
欧拉方程为：
$$ 2a_2c^2\ddot{p} - 2b_1(1 + a_2b_1)p + (b_0(1+2a_2b_1) + a_1b_1) = 0 $$
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程. 边界条件: 
由于 $\pi(0)$ 和 $\pi(T)$ 均未被指定，这是两端自由的变分问题. 
因此， $p(t)$ 必须满足自然边界条件：
$$ \frac{\partial L}{\partial \dot{p}} \Bigg|_{t=0} = 0 \quad \text{和} \quad \frac{\partial L}{\partial \dot{p}} \Bigg|_{t=T} = 0 $$
即：
$$ c p(t) - 2a_2c(b_0-b_1p(t)+c\dot{p}(t)) - a_1c = 0 \quad \text{when } t=0 \text{ and } t=T $$
\end{solution}

\hrule
\paragraph{8.} 上世纪50年代，在物理学期刊《Physical Review》中，曾有人提出一种既能对图像 \( I(x,y) \) 降噪、又不过分减弱边缘等高频细节的算法.   具体办法是求目标泛函
\[
S[\psi] = \iint (\psi(x,y) - I(x,y))^2 dxdy
\]
的极值，其中 \( \psi(x,y) \) 是降噪后的图像，满足约束条件
\[
\iint \sqrt{(\nabla\psi)^2} dxdy = c
\]
这样图形中物体轮廓线（被 \( \nabla\psi \) 近似描述）保持了一定的亮度，而降噪后的图形 \( \psi(x,y) \) 又能尽量接近原来的含噪声图像 \( I(x,y) \).   求 \( \psi(x,y) \) 满足的欧拉方程. 
\begin{solution}
这是一个带约束的变分问题. 我们使用拉格朗日乘子法，构造一个新的泛函 $S^*$：
$$ S^*[\psi] = S[\psi] - \lambda \left( \iint\sqrt{(\nabla\psi)^{2}}dxdy - c \right) $$
$$ S^*[\psi] = \iint \left[ (\psi - I)^2 - \lambda \sqrt{\psi_x^2 + \psi_y^2} \right] dxdy $$
被积函数（拉格朗日量）为 $L(\psi, \psi_x, \psi_y) = (\psi - I)^2 - \lambda \sqrt{\psi_x^2 + \psi_y^2}$. 
其对应的欧拉-拉格朗日方程为（$\psi_x = \frac{\partial\psi}{\partial x}, \psi_y = \frac{\partial\psi}{\partial y}$）：
$$ \frac{\partial L}{\partial \psi} - \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial L}{\partial \psi_x} \right) - \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial L}{\partial \psi_y} \right) = 0 $$
计算各项：
\begin{align*}
    \frac{\partial L}{\partial \psi} &= 2(\psi - I) \\
    \frac{\partial L}{\partial \psi_x} &= -\lambda \cdot \frac{1}{2\sqrt{\psi_x^2 + \psi_y^2}} \cdot (2\psi_x) = -\lambda \frac{\psi_x}{|\nabla\psi|} \\
    \frac{\partial L}{\partial \psi_y} &= -\lambda \cdot \frac{1}{2\sqrt{\psi_x^2 + \psi_y^2}} \cdot (2\psi_y) = -\lambda \frac{\psi_y}{|\nabla\psi|}
\end{align*}
代入 E-L 方程：
$$ 2(\psi - I) - \frac{\partial}{\partial x}\left( -\lambda \frac{\psi_x}{|\nabla\psi|} \right) - \frac{\partial}{\partial y}\left( -\lambda \frac{\psi_y}{|\nabla\psi|} \right) = 0 $$
$$ 2(\psi - I) + \lambda \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\psi_x}{|\nabla\psi|} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\psi_y}{|\nabla\psi|} \right) \right] = 0 $$
注意到 $\nabla\psi = (\psi_x, \psi_y)$，$\frac{\nabla\psi}{|\nabla\psi|}$ 是 $\nabla\psi$ 方向的单位向量 $\hat{n}$. 
所以方括号中的项是 $\nabla \cdot (\hat{n})$，即 $\nabla \cdot \left( \frac{\nabla\psi}{|\nabla\psi|} \right)$. 
最终，$\psi(x,y)$ 满足的欧拉方程为：
$$ 2(\psi - I) + \lambda \nabla \cdot \left( \frac{\nabla\psi}{|\nabla\psi|} \right) = 0 $$
（注：$\nabla \cdot \left( \frac{\nabla\psi}{|\nabla\psi|} \right)$ 是平均曲率 (mean curvature) 的两倍. ）
\end{solution}

\hrule
\paragraph{9.} 玻璃管垂直插在水里，求管内、外水面的形状满足的方程和边界条件. 

\begin{solution}
这是一个求解最小能量曲面的变分问题。系统的总能量 $E$ 由重力势能 $E_g$ 和表面张力势能 $E_s$ 组成。系统将采取一种形状 $y(x)$ 来最小化总能量。$y(x)$ 是在半径 $x$ 处的水面高度。

\paragraph{总能量泛函}
我们考虑一个区域（例如管外，$x \in [R, \infty)$），其能量泛函 $\Phi[y]$ 由三部分组成：
\begin{enumerate}
    \item \textbf{重力势能 $E_g$}: 
    一个在半径 $x$、宽度 $dx$、高度 $y$ 的薄水柱的势能（相对 $y=0$）是 $\dd E_g = \dfrac{1}{2}\cdot\rho g {y}\cdot 2\pi x y dx$。
    $$ E_g = \int \dfrac{1}{2}\rho g y^2 (2\pi x) \dd x = \int \pi \rho g x y^2 \dd x $$
    \item \textbf{气-液界面能 $E_{aw}$}: 
    由表面张力 $\gamma_{aw}$ 和气-液接触面积 $A_{aw}$ 决定。
    $$ A_{aw} = \int 2\pi x \dd s = \int 2\pi x \sqrt{1+y'^2} \dd x $$
    $$ E_{aw} = \int 2\pi \gamma_{aw} x \sqrt{1+y'^2} \dd x $$
    \item \textbf{固-液与固-气界面能 $E_{sl, sg}$}: 
    当水面上升高度 $y(R)$ 时，面积为 $A_{wall} = 2\pi R y(R)$ 的固-气界面被固-液界面替换。能量变化为：
    $$ \Delta E_s = (\gamma_{sl} - \gamma_{sg}) A_{wall} = 2\pi R (\gamma_{sl} - \gamma_{sg}) y(R) $$
\end{enumerate}
总能量泛函 $\Phi[y] = E_g + E_{aw} + \Delta E_s$。我们令 $L$ 为被积函数：
$$ \Phi[y] = \int L(x, y, y') \dd x + C(y(R)) $$
$$ L(x, y, y') = \pi \rho g x y^2 + 2\pi \gamma_{aw} x \sqrt{1+y'^2} $$

\paragraph{欧拉-拉格朗日方程}
形状 $y(x)$ 必须满足欧拉-拉格朗日方程：
$$ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\dd }{\dd x}\left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) = 0 $$
计算各项：
\begin{align*}
    \frac{\partial L}{\partial y} &= 2\pi \rho g x y \\
    \frac{\partial L}{\partial y'} &= 2 \pi \gamma_{aw} x \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}
\end{align*}
代入 E-L 方程：
$$ 2\pi \rho g x y - \frac{\dd}{\dd x}\left( \pi \gamma_{aw} \frac{x y'}{\sqrt{1+y'^2}} \right) = 0 $$
消去 $2\pi$ 并整理，得到水面形状满足的方程：
$$ \rho g y = \frac{\gamma_{aw}}{x} \frac{\dd}{\dd x} \left( \frac{x y'}{\sqrt{1+y'^2}} \right) $$
该方程在管内 ($0 < x < R$) 和管外 ($x > R$) 均成立。

\paragraph{3. 边界条件}
\begin{enumerate}
    \item \textbf{在管外 ($x \to \infty$)}: 
    水面必须趋于平坦。
    $$ y(\infty) = 0 \quad \text{且} \quad y'(\infty) = 0 $$
    \item \textbf{在管内中心 ($x = 0$)}: 
    由于对称性，水面在中心点必须是平坦的。
    $$ y'(0) = 0 $$
    \item \textbf{在玻璃管壁 ($x=R$)}: 
    此处为可变端点问题，边界条件由 $\frac{dg}{dy_R} = \frac{\partial L}{\partial y'} \Big|_{x=R}$ 给出（管外）或 $\frac{dg}{dy_R} = -\frac{\partial L}{\partial y'} \Big|_{x=R}$ 给出（管内）。
    
    $$ \frac{dg}{dy_R} = \frac{d}{dy(R)} [2\pi R (\gamma_{sl} - \gamma_{sg}) y(R)] = 2\pi R (\gamma_{sl} - \gamma_{sg}) $$
    $$ \frac{\partial L}{\partial y'} \Big|_{x=R} = 2\pi \gamma_{aw} R \frac{y'(R)}{\sqrt{1+y'(R)^2}} $$
    
    根据杨氏方程 (Young's relation)，$\gamma_{sg} - \gamma_{sl} = \gamma_{aw} \cos\theta_c$，其中 $\theta_c$ 是液体与固体壁的接触角。
\end{enumerate}
\end{solution}