% --- 作业标题栏 ---
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
    \vspace{0.1cm} \\
    \large 作业 29 参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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% --- 作业问题 ---
\section*{第六章 哈密顿力学}

\paragraph{19.} 以向下为 $x$ 轴的正方向，讨论落体运动. 设初始时刻的位移为 $x(0)=x_{0}$，动量为 $p(0)=p_{0}$. 
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 求出 $x_{0}=x_{0}(t,x,p)$, $p_{0}=p_{0}(t,x,p)$. 
    \item[(2)] 证明 $x, p \rightarrow x_{0}, p_{0}$ 是正则变换. 
    \item[(3)] 对此变换逐个判断四种常用生成函数是否存在；若存在，则求出各生成函数表达式和哈密顿函数 $K(t,x_{0},p_{0})$. 
    \item[(4)] 分别求出初值 $x_{0},p_{0}$ 这两个守恒量所对应的准对称变换. 
\end{enumerate}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 
    系统的哈密顿函数为（$x$ 向下为正，势能 $V = -mgx$）：
    $$ H = \frac{p^2}{2m} - mgx $$
    正则方程为：
    $$ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = mg $$
    积分得运动方程（以 $x_0, p_0$ 为初值）：
    $$ p(t) = p_0 + mgt $$
    $$ x(t) = x_0 + \frac{p_0}{m}t + \frac{1}{2}gt^2 $$
    反解上述方程组，用 $t, x, p$ 表示 $x_0, p_0$：
    由第一式得：
    $$ p_0 = p - mgt $$
    代入第二式：
    $$ x_0 = x - \frac{p - mgt}{m}t - \frac{1}{2}gt^2 = x - \frac{p}{m}t + gt^2 - \frac{1}{2}gt^2 = x - \frac{p}{m}t + \frac{1}{2}gt^2 $$
    综上：
    $$ \begin{cases} x_0 = x - \frac{p}{m}t + \frac{1}{2}gt^2 \\ p_0 = p - mgt \end{cases} $$

    \item[(2)] 
    计算雅可比矩阵（或泊松括号）：
    $$ \{x_0, p_0\}_{x,p} = \frac{\partial x_0}{\partial x}\frac{\partial p_0}{\partial p} - \frac{\partial x_0}{\partial p}\frac{\partial p_0}{\partial x} $$
    各偏导数为：
    $$ \frac{\partial x_0}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial x_0}{\partial p} = -\frac{t}{m} $$
    $$ \frac{\partial p_0}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial p_0}{\partial p} = 1 $$
    代入得：
    $$ \{x_0, p_0\}_{x,p} = 1 \cdot 1 - \left(-\frac{t}{m}\right) \cdot 0 = 1 $$
    由于泊松括号为 1，故该变换是正则变换. 

    \item[(3)] 
    由于 $(x_0, p_0)$ 为常数，新哈密顿函数 $K$ 应使得 $$\dot{x}_0 = \frac{\partial K}{\partial p_0} = 0, \dot{p}_0 = -\frac{\partial K}{\partial x_0} = 0.$$故可取 $K = 0$. 
    变换关系需满足 $p \dot{x} - H = p_0 \dot{x}_0 - K + \frac{dF}{dt}$，即 $$dF = p dx - p_0 dx_0 + (K-H)dt = p dx - p_0 dx_0 - H dt.$$ 

    \textbf{(i) 第一类生成函数 $F_1(t, x, x_0)$：}
    需满足 $p = \frac{\partial F_1}{\partial x}, p_0 = -\frac{\partial F_1}{\partial x_0}$. 
    由 (1) 中结果：
    $$ x_0 = x - \frac{p}{m}t + \frac{1}{2}gt^2 \implies p = \frac{m(x-x_0)}{t} + \frac{1}{2}mgt $$
    $$ p_0 = p - mgt = \frac{m(x-x_0)}{t} - \frac{1}{2}mgt $$
    由于可以解出 $p(x, x_0)$ 和 $p_0(x, x_0)$，且 $t \neq 0$ 时非奇异，\textbf{存在}. 
    积分 $\frac{\partial F_1}{\partial x} = \frac{m(x-x_0)}{t} + \frac{1}{2}mgt$ 得：
    $$ F_1 = \frac{m(x-x_0)^2}{2t} + \frac{1}{2}mgt x + f(x_0, t) $$
    利用 $p_0 = -\frac{\partial F_1}{\partial x_0} = \frac{m(x-x_0)}{t} - \frac{\partial f}{\partial x_0}$，对比 $p_0$ 表达式得 $\frac{\partial f}{\partial x_0} = \frac{1}{2}mgt \implies f = \frac{1}{2}mgt x_0 + g(t)$. 
    再由 $\frac{\partial F_1}{\partial t} + H = 0$ 确定 $g(t)$，最终可得（忽略常数项）：
    $$ F_1(t, x, x_0) = \frac{m(x-x_0)^2}{2t} + \frac{1}{2}mgt(x+x_0) - \frac{1}{24}mg^2t^3 $$

    \textbf{(ii) 第二类生成函数 $F_2(t, x, p_0)$：}
    需满足 $p = \frac{\partial F_2}{\partial x}, x_0 = \frac{\partial F_2}{\partial p_0}$. 
    由 $p_0 = p - mgt \implies p = p_0 + mgt$. 
    $x_0 = x - \frac{p_0+mgt}{m}t + \frac{1}{2}gt^2 = x - \frac{p_0 t}{m} - \frac{1}{2}gt^2$. 
    可以表示为 $(x, p_0)$ 的函数，\textbf{存在}. 
    积分 $\frac{\partial F_2}{\partial x} = p_0 + mgt \implies F_2 = (p_0+mgt)x + f(p_0, t)$. 
    由 $x_0 = \frac{\partial F_2}{\partial p_0} = x + \frac{\partial f}{\partial p_0}$，对比得 $\frac{\partial f}{\partial p_0} = -\frac{p_0 t}{m} - \frac{1}{2}gt^2$. 
    解得：
    $$ F_2(t, x, p_0) = (p_0 + mgt)x - \frac{p_0^2 t}{2m} - \frac{1}{2}gt^2 p_0 - \frac{1}{6}mg^2 t^3 $$

    \textbf{(iii) 第三类生成函数 $F_3(t, p, x_0)$：}
    需满足 $x = -\frac{\partial F_3}{\partial p}, p_0 = -\frac{\partial F_3}{\partial x_0}$. 
    由 $p_0 = p - mgt$，$x = x_0 + \frac{p}{m}t - \frac{1}{2}gt^2$. 
    可以表示为 $(p, x_0)$ 的函数，\textbf{存在}. 
    同理积分可得：
    $$ F_3(t, p, x_0) = (mgt - p)x_0 - \frac{p^2 t}{2m} + \frac{1}{2}gt^2 p - \frac{1}{6}mg^2 t^3 $$

    \textbf{(iv) 第四类生成函数 $F_4(t, p, p_0)$：}
    需满足 $x = -\frac{\partial F_4}{\partial p}, x_0 = \frac{\partial F_4}{\partial p_0}$. 
    这就要求能从 $p, p_0$ 反解出 $x, x_0$. 
    但由 (1) 知 $p_0 = p - mgt$，即 $p - p_0 = mgt$. 在固定时刻 $t$， $p$ 和 $p_0$ 不是独立的变量（或者说雅可比行列式为0），无法反解出 $x$. 
    故 \textbf{$F_4$ 不存在}. 

    \item[(4)] 
    设守恒量 $I$ 为生成元 $G$，变换为 $\delta x = \epsilon \frac{\partial G}{\partial p}, \delta p = -\epsilon \frac{\partial G}{\partial x}$. 

    (i) 对于 $p_0 = p - mgt$：
    $$ \delta x = \epsilon \frac{\partial p_0}{\partial p} = \epsilon, \quad \delta p = -\epsilon \frac{\partial p_0}{\partial x} = 0 $$
    对应变换：\textbf{空间平移} $x \to x + \epsilon, p \to p$. 
    验证准对称性：$$\delta L = \delta \left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + mgx\right) = mg\delta x = mg\epsilon = \frac{d}{dt}(mg\epsilon t).$$ 

    (ii) 对于 $x_0 = x - \frac{pt}{m} + \frac{1}{2}gt^2$：
    $$ \delta x = \epsilon \frac{\partial x_0}{\partial p} = -\epsilon \frac{t}{m}, \quad \delta p = -\epsilon \frac{\partial x_0}{\partial x} = -\epsilon $$
    对应变换：\textbf{一种与时间有关的参考系变换（类伽利略变换）} $x \to x - \epsilon \frac{t}{m}, p \to p - \epsilon$. 
    验证准对称性：$$\delta L = m\dot{x}\delta\dot{x} + mg\delta x = m\dot{x}(-\frac{\epsilon}{m}) + mg(-\frac{\epsilon t}{m}) = -\epsilon \dot{x} - \frac{\epsilon g t}{m} = \frac{d}{dt}(-\epsilon x - \frac{\epsilon g t^2}{2m}).$$ 

\end{enumerate}
\end{solution}

\paragraph{20.} 分别用第一、三、四类生成函数作为主函数，(如果可行)推导哈密顿雅可比方程. 

\begin{solution}
    哈密顿-雅可比方程的核心思想是寻找生成函数 $S$，使得新哈密顿量 $K = H + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$，从而新坐标和新动量均为常数. 通常 $S$ 取为第二类生成函数 $S(q, P, t)$. 若选用其他类型：

\begin{enumerate}
    \item \textbf{第一类生成函数 $S_1(q, Q, t)$：}
    关系式：$p = \frac{\partial S_1}{\partial q}, P = -\frac{\partial S_1}{\partial Q}$. 
    方程：
    $$ H\left(q, \frac{\partial S_1}{\partial q}, t\right) + \frac{\partial S_1}{\partial t} = 0 $$
    这是关于 $S_1$ 的偏微分方程，可行. 

    \item \textbf{第三类生成函数 $S_3(p, Q, t)$：}
    关系式：$q = -\frac{\partial S_3}{\partial p}, P = -\frac{\partial S_3}{\partial Q}$. 
    方程：
    $$ H\left(-\frac{\partial S_3}{\partial p}, p, t\right) + \frac{\partial S_3}{\partial t} = 0 $$
    这是关于 $S_3$ 的偏微分方程，可行. 

    \item \textbf{第四类生成函数 $S_4(p, P, t)$：}
    关系式：$q = -\frac{\partial S_4}{\partial p}, Q = \frac{\partial S_4}{\partial P}$. 
    方程：
    $$ H\left(-\frac{\partial S_4}{\partial p}, p, t\right) + \frac{\partial S_4}{\partial t} = 0 $$
    这是关于 $S_4$ 的偏微分方程，可行. 
\end{enumerate}
\end{solution}


\paragraph{21.} 质点在重力场中运动，取水平方向为 $x$ 轴，垂直向上为 $y$ 轴，设初速度为 $(v_{1},v_{2})$. 利用哈密顿-雅可比方程求轨道方程. 

\begin{solution}
    哈密顿函数（$y$ 向上）：
$$ H = \frac{1}{2m}(p_x^2 + p_y^2) + mgy $$
令 $H = E = \alpha_1$. H-J 方程为：
$$ \frac{1}{2m}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2 \right] + mgy + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 $$
分离变量 $S = W(x, y) - \alpha_1 t$. 
$$ \frac{1}{2m}\left[ \left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)^2 \right] + mgy = \alpha_1 $$
设 $W(x, y) = W_x(x) + W_y(y)$，分离常数为 $\alpha_x$：
$$ \left(\frac{dW_x}{dx}\right)^2 = \alpha_x^2 \implies W_x = \alpha_x x $$
$$ \frac{1}{2m}\alpha_x^2 + \frac{1}{2m}\left(\frac{dW_y}{dy}\right)^2 + mgy = \alpha_1 \implies W_y = \int \sqrt{2m\alpha_1 - \alpha_x^2 - 2m^2gy} \, dy $$
主函数：
$$ S = \alpha_x x + \int \sqrt{2m\alpha_1 - \alpha_x^2 - 2m^2gy} \, dy - \alpha_1 t $$
根据雅可比定理，轨道方程由 $\frac{\partial S}{\partial \alpha_x} = \beta$ 给出（$\beta$ 为常数）：
$$ \frac{\partial S}{\partial \alpha_x} = x + \int \frac{-2\alpha_x}{2\sqrt{2m\alpha_1 - \alpha_x^2 - 2m^2gy}} \, dy = \beta $$
$$ x - \alpha_x \int \frac{dy}{\sqrt{C - 2m^2gy}} = \beta \quad (C = 2m\alpha_1 - \alpha_x^2) $$
积分得：
$$ x - \alpha_x \frac{-1}{m^2g} \sqrt{2m\alpha_1 - \alpha_x^2 - 2m^2gy} = \beta $$
代入初始条件确定常数：
$t=0$ 时 $x=0, y=0$. 初动量 $p_{x0} = mv_1, p_{y0} = mv_2$. 
$\alpha_x = p_x = mv_1$. 
$\alpha_1 = E = \frac{1}{2}m(v_1^2 + v_2^2)$. 
$\beta = 0 - mv_1 \frac{-1}{m^2g} \sqrt{2mE - m^2v_1^2} = \frac{v_1}{mg} \sqrt{m^2v_2^2} = \frac{v_1 v_2}{g}$. 
轨道方程为：
$$ x - \frac{v_1 v_2}{g} = -\frac{v_1}{mg} \sqrt{m^2 v_2^2 - 2m^2gy} $$
$$ x - \frac{v_1 v_2}{g} = -\frac{v_1}{g} \sqrt{v_2^2 - 2gy} $$
两边平方整理：
$$ \left(x - \frac{v_1 v_2}{g}\right)^2 = \frac{v_1^2}{g^2} (v_2^2 - 2gy) $$
$$ x^2 - \frac{2v_1 v_2}{g}x + \frac{v_1^2 v_2^2}{g^2} = \frac{v_1^2 v_2^2}{g^2} - \frac{2v_1^2}{g}y $$
$$ x^2 - \frac{2v_1 v_2}{g}x = -\frac{2v_1^2}{g}y $$
解出 $y$：
$$ y = \frac{v_2}{v_1}x - \frac{g}{2v_1^2}x^2 $$
此即抛体运动的轨迹方程. 
\end{solution}