% --- 作业标题栏 ---
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
    \vspace{0.1cm} \\
    \large 作业05  参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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\hrule
\vspace{1cm}

% --- 作业问题 ---
\section*{第二章 拉格朗日力学}

\paragraph{5.} 长度为$l$、质量为$m$的无弹性绳子，在三维空间的形状可以用弧长参数$s$表示为 $$\vecc{x}(s,t), \quad s\in[0,l],$$绳子的s=0这一端被握在手中，被强迫沿固定轨迹 $\vecc{a}(t)$ 移动，即 $$\vecc{x}(s=0,t)=\vecc{a}(t),$$其中 $\vecc{a}(t)$ 是已知函数. 
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 绳子所受的主动力和约束力有哪些？
    \item[(2)] 判断绳子所受的约束（包含绳子内部的作用、手对绳子的作用），是否为定常约束、完整约束、理想约束？
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)]
    \begin{itemize}
        \item \textbf{主动力}: 作用在绳子每一段上的重力 . 
        \item \textbf{约束力}: 
        \begin{itemize}
            \item 手为了使绳子一端 ($s=0$) 沿指定轨迹 $\vecc{a}(t)$ 运动而施加的力 . 
            \item 绳子内部的张力，该力维持绳子总长度不变（无弹性约束）. 
        \end{itemize}
    \end{itemize}
    \item[(2)]
    \begin{itemize}
        \item \textbf{手对绳子的作用}:
        \begin{itemize}
            \item \textbf{非定常约束}: 约束方程为 $\vecc{x}(0,t) - \vecc{a}(t) = 0$. 由于 $\vecc{a}(t)$ 显含时间 $t$，所以该约束为非定常（时变）约束. 
            \item \textbf{完整约束}: 约束方程是关于坐标和时间的代数方程，可以写成 $f(\vecc{r}, t)=0$ 的形式，所以是完整（几何）约束. 
            \item \textbf{理想约束}: 约束力只作用在 $s=0$ 点上，而该点的虚位移 $\delta\vecc{x}(0,t)$ 必须为零（因为其运动轨迹已被完全确定），所以约束力所做的虚功为零. 因此，这是理想约束. 
        \end{itemize}
        \item \textbf{绳子内部的作用力}:
        \begin{itemize}
            \item \textbf{定常约束}: 该约束是绳子不可伸长，可以用微分形式表示为 $|\partial\vecc{x}/\partial s| = 1$. 这个方程不显含时间 $t$，所以是定常（稳定）约束. 
            \item \textbf{完整约束}: 对于绳子这种连续体，不可伸长的约束是联系各质元坐标的微分约束，但它可以被看作是无限多个完整约束的集合（即任意两质元间距离恒定），在分析力学中通常将其视为完整约束处理. 
            \item \textbf{理想约束}: 绳子内部的张力总是成对出现，大小相等，方向相反（牛顿第三定律）. 在任何保持绳子长度不变的虚位移中，这些内力所做的总虚功为零. 因此，这是理想约束. 
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{solution}
\hrule

\paragraph{6.} 如图，两个小球用轻绳悬挂在固定点构成一个双摆. 小球质量为 $m_1, m_2$；绳长为 $l_1, l_2$. 以角度 $\theta_1, \theta_2$ 为广义坐标，利用达朗贝尔原理写出运动方程. 

\begin{solution}

设悬挂点为坐标原点，竖直向下为 $y$ 轴正方向，水平向右为 $x$ 轴正方向。
\begin{itemize}
    \item \textbf{质点 $m_1$ 的位置矢量 $\vec{r}_1$}:
    $$\vec{r}_1 = (l_1\sin\theta_1)\hat{i} + (l_1\cos\theta_1)\hat{j}$$
    \item \textbf{质点 $m_2$ 的位置矢量 $\vec{r}_2$}:
    $$\vec{r}_2 = (l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2)\hat{i} + (l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_2)\hat{j}$$
\end{itemize}
对时间求二次导数，得到加速度矢量：
\begin{align*}
    \ddot{\vec{r}}_1 &= (l_1\ddot{\theta}_1\cos\theta_1 - l_1\dot{\theta}_1^2\sin\theta_1)\hat{i} - (l_1\ddot{\theta}_1\sin\theta_1 + l_1\dot{\theta}_1^2\cos\theta_1)\hat{j} \\
    \ddot{\vec{r}}_2 &= (l_1\ddot{\theta}_1\cos\theta_1 - l_1\dot{\theta}_1^2\sin\theta_1 + l_2\ddot{\theta}_2\cos\theta_2 - l_2\dot{\theta}_2^2\sin\theta_2)\hat{i} \\
    & \quad - (l_1\ddot{\theta}_1\sin\theta_1 + l_1\dot{\theta}_1^2\cos\theta_1 + l_2\ddot{\theta}_2\sin\theta_2 + l_2\dot{\theta}_2^2\cos\theta_2)\hat{j}
\end{align*}

且有：
\begin{itemize}
    \item \textbf{主动力}:
    $$\vec{F}_1 = m_1g\hat{j}, \qquad \vec{F}_2 = m_2g\hat{j}$$
    \item \textbf{虚位移}:
    虚位移由广义坐标的虚变 $\delta\theta_1, \delta\theta_2$ 引起：
    \begin{align*}
        \delta\vec{r}_1 &= \frac{\partial\vec{r}_1}{\partial\theta_1}\delta\theta_1 = (l_1\cos\theta_1\hat{i} - l_1\sin\theta_1\hat{j})\delta\theta_1 \\
        \delta\vec{r}_2 &= \frac{\partial\vec{r}_2}{\partial\theta_1}\delta\theta_1 + \frac{\partial\vec{r}_2}{\partial\theta_2}\delta\theta_2 \\
        &= (l_1\cos\theta_1\hat{i} - l_1\sin\theta_1\hat{j})\delta\theta_1 + (l_2\cos\theta_2\hat{i} - l_2\sin\theta_2\hat{j})\delta\theta_2
    \end{align*}
\end{itemize}


考虑 d'Alembert原理，我们将 $(\vec{F}_1 - m_1\ddot{\vec{r}}_1) \cdot \delta\vec{r}_1 + (\vec{F}_2 - m_2\ddot{\vec{r}}_2) \cdot \delta\vec{r}_2 = 0$ 展开。
\begin{itemize}
    \item \textbf{主动力虚功 $\sum \vec{F}_i \cdot \delta\vec{r}_i$}:
    \begin{align*}
        \vec{F}_1 \cdot \delta\vec{r}_1 &= (m_1g\hat{j})\cdot(l_1\cos\theta_1\hat{i} - l_1\sin\theta_1\hat{j})\delta\theta_1 = -m_1gl_1\sin\theta_1\delta\theta_1 \\
        \vec{F}_2 \cdot \delta\vec{r}_2 &= (m_2g\hat{j})\cdot[(l_1\cos\theta_1\hat{i} - l_1\sin\theta_1\hat{j})\delta\theta_1 + (l_2\cos\theta_2\hat{i} - l_2\sin\theta_2\hat{j})\delta\theta_2] \\
        &= -m_2gl_1\sin\theta_1\delta\theta_1 - m_2gl_2\sin\theta_2\delta\theta_2 \\
        \sum \vec{F}_i \cdot \delta\vec{r}_i &= [-(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1]\delta\theta_1 + [-m_2gl_2\sin\theta_2]\delta\theta_2
    \end{align*}
    \item \textbf{惯性力虚功 $-\sum m_i\ddot{\vec{r}}_i \cdot \delta\vec{r}_i$}:
    \begin{align*}
        -m_1\ddot{\vec{r}}_1 \cdot \delta\vec{r}_1 &= -m_1l_1^2\ddot{\theta}_1 \delta\theta_1 \\
        -m_2\ddot{\vec{r}}_2 \cdot \delta\vec{r}_2 &= -m_2[l_1^2\ddot{\theta}_1+l_1l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+l_1l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2)]\delta\theta_1 \\
        & \quad -m_2[l_2^2\ddot{\theta}_2+l_1l_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)-l_1l_2\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)]\delta\theta_2
    \end{align*}
\end{itemize}

将主动力虚功和惯性力虚功的各项相加，并按 $\delta\theta_1$ 和 $\delta\theta_2$ 重新组合。由于 $\delta\theta_1$ 和 $\delta\theta_2$ 是相互独立的任意虚位移，它们的系数必须分别等于零。

    \begin{multline*}
        -(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1 - m_1l_1^2\ddot{\theta}_1 - m_2l_1^2\ddot{\theta}_1 - m_2l_1l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) \\ - m_2l_1l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) = 0
    \end{multline*}

    $$-m_2gl_2\sin\theta_2 - m_2l_2^2\ddot{\theta}_2 - m_2l_1l_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2) + m_2l_1l_2\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2) = 0$$

整理后得到最终的运动方程：

    $$(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1 + m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) + m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) + (m_1+m_2)g\sin\theta_1 = 0$$

    $$l_2\ddot{\theta}_2 + l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2) - l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2) + g\sin\theta_2 = 0$$

\end{solution}
\hrule

\paragraph{7.} 质量为$m$、半径为$a$的均匀圆盘，直立在斜坡上. 圆盘沿斜坡直线滚下，运动中圆盘与斜坡的接触点无滑动. 试利用d'Alembert原理写出圆盘的运动方程. 
\begin{solution}
设斜面倾角为 $\alpha$。我们选取沿斜面向下为 $x$ 轴正方向，广义坐标为圆盘质心沿 $x$ 轴的位移 $x$。圆盘顺时针转动的角度为 $\theta$。
\begin{itemize}
    \item \textbf{质心运动}: 质心的位置矢量 $\vec{r}_C = x\hat{i}$，加速度为 $\ddot{\vec{r}}_C = \ddot{x}\hat{i}$。
    \item \textbf{转动运动}: 圆盘的角加速度为 $\ddot{\theta}$。
    \item \textbf{无滑动约束}: 质心的速度与角速度满足关系 $\dot{x} = a\dot{\theta}$。因此，加速度之间也满足 $\ddot{x} = a\ddot{\theta}$。
    \item \textbf{虚位移约束}: 虚位移之间满足同样的关系 $\delta x = a \delta\theta$。
\end{itemize}

对于理想约束（静摩擦力和法向支持力不做虚功），我们只需考虑主动力——重力。
\begin{itemize}
    \item \textbf{主动力 $\vec{F}_{\text{active}}$}: 只有重力沿斜面的分量 $mg\sin\alpha$ 会在 $\delta x$ 的虚位移上做功。因此 $F_{\text{active}, x} = mg\sin\alpha$。
    \item \textbf{主动力矩 $\tau_{\text{active}, C}$}: 重力作用在质心上，因此它对质心的力矩为零。$\tau_{\text{active}, C} = 0$。
    \item \textbf{惯性力}: $-m\ddot{\vec{r}}_C = -m\ddot{x}\hat{i}$。
    \item \textbf{惯性力矩}: $-I_C\ddot{\theta}$。对于均匀圆盘，其绕质心的转动惯量 $I_C = \frac{1}{2}ma^2$。
\end{itemize}

我们将各项代入 d'Alembert 原理的方程中。所有运动都在 $x$ 方向，因此点积可以直接写成标量乘积。
$$(F_{\text{active}, x} - m\ddot{x})\delta x + (\tau_{\text{active}, C} - I_C\ddot{\theta})\delta\theta = 0$$
代入具体表达式，利用约束关系 $\delta\theta = \delta x / a$ 和 $\ddot{\theta} = \ddot{x} / a$ 来消去 $\theta$ 相关的变量，使得方程中只含有独立的虚位移 $\delta x$：
$$(mg\sin\alpha - m\ddot{x})\delta x - \left(\frac{1}{2}ma^2\frac{\ddot{x}}{a}\right)\frac{\delta x}{a} = 0$$
$$(mg\sin\alpha - m\ddot{x} - \frac{1}{2}m\ddot{x})\delta x = 0$$
由于虚位移 $\delta x$ 是任意的，其系数必须为零：
$$mg\sin\alpha - m\ddot{x} - \frac{1}{2}m\ddot{x} = 0$$
整理后得到最终的运动方程与质心加速度：
$$mg\sin\alpha = \frac{3}{2}m\ddot{x}, \qquad \ddot{x} = \frac{2}{3}g\sin\alpha$$
\end{solution}