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% --- 标题信息 ---
\title[Theoretical Mechanics Review]{Theoretical Mechanics: Final Review}
\subtitle{Chapters 5-7 Recitation}
\author{Hongfei Yu}
\institute{School of Physical Science, USTC}
\date{\today}

\begin{document}

% --- 标题页 ---
\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% --- 目录 ---
\begin{frame}{复习提纲}
    \tableofcontents[hideallsubsections]
\end{frame}

% =================================================================
% 第五章：微振动
% =================================================================
\section{第五章：微振动理论}

\begin{frame}{1. 微振动与简正模式（必考）}
    \begin{block}{1.1 矩阵形式}
        在稳定平衡点附近，系统拉氏量近似为二次型：
        $$ L = \frac{1}{2} \dot{\mat{\eta}}^T \mat{M} \dot{\mat{\eta}} - \frac{1}{2} \mat{\eta}^T \mat{K} \mat{\eta} $$
        \begin{itemize}
            \item \textbf{惯性矩阵} $\mat{M}$：通常是实对称正定矩阵. 
            \item \textbf{刚度矩阵} $\mat{K}$：通常是实对称正定矩阵. 
        \end{itemize}
    \end{block}

    \begin{block}{1.2 求解步骤}
        1. 写出 $\mat{M}, \mat{K}$ 矩阵. 
        2. 解特征方程 $\det(\mat{K} - \omega^2 \mat{M}) = 0$ 求特征频率 $\omega_k$. 
        3. 求特征矢量 $\mat{A}^{(k)}$ 并构造模态矩阵 $\mat{A}$. 
        4. 简正坐标变换：$\mat{\eta} = \mat{A} \mat{\zeta}$. 
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{【样卷解析】微振动实例}
    \textbf{题目（期末样卷 Q4）：} 
    用弹性势能为
    $$
        mgl(\theta_1-\theta_2)^2
    $$
    的弹簧连接两个平面单摆，单摆的刚性杆长度分别为$2l, l$，质点质量分别为$m,m$，与垂直方向夹角为$\theta_1, \theta_2$.
    \begin{enumerate}
        \item 写出微振动的拉氏量；
        \item 求模态矩阵和自然频率.
    \end{enumerate}
    {\hfill\includegraphics[width=0.2\textwidth]{fig1.png}}
\end{frame}

\begin{frame}{2-3. 阻尼与受迫振动}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{阻尼振动}：
        引入瑞利耗散函数 $\mathcal{F} = \frac{1}{2} \dot{\mat{\eta}}^T \mat{D} \dot{\mat{\eta}}$. 
        运动方程：$\mat{T}\ddot{\mat{\eta}} + \mat{D}\dot{\mat{\eta}} + \mat{V}\mat{\eta} = 0$. 
        若 $\mat{D}$ 可对角化，则解为阻尼振荡 $e^{-\beta t} e^{i\omega_d t}$. 
        
        \item \textbf{受迫振动}：
        方程右端加入广义力 $\mat{Q}(t)$. 
        $$ \ddot{\zeta}_k + \omega_k^2 \zeta_k = f_k(t) $$
        重点考察\textbf{共振}条件：驱动力频率 $\gamma \approx \omega_k$. 
    \end{itemize}
\end{frame}

% =================================================================
% 第六章：哈密顿力学基础
% =================================================================
\section{第六章：哈密顿力学基础}

\begin{frame}{4. Hamilton 方程（必考）}
    \begin{block}{正则方程}
        $$ \dot{q}_\alpha = \pdv{H}{p_\alpha}, \quad \dot{p}_\alpha = -\pdv{H}{q_\alpha} $$
    \end{block}
    
    \textbf{关键点}：
    \begin{itemize}
        \item \textbf{广义动量定义}：$p_\alpha = \pdv{L}{\dot{q}_\alpha}$. 注意在电磁场中 $\vb{p} = m\vb{v} + q\vb{A}$. 
        \item \textbf{循环坐标}：若 $H$ 不含 $q_\alpha$，则 $p_\alpha$ 守恒. 
        \item \textbf{能量守恒}：若 $H$ 不显含 $t$，则 $H=E$（常数）. 
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{5-6. 劳斯变换与哈密顿光学}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{劳斯变换 (Routhian)}：
        用于消除循环坐标. 对循环坐标 $q_c$ 进行勒让德变换，对非循环坐标保留拉格朗日形式. 
        $$ R = \sum p_c \dot{q}_c - L $$
        应用：期末样卷 Q2 中处理 $z$ 方向运动或球对称势中的 $\phi$ 方向. 

        \item \textbf{哈密顿光学}：
        
        \begin{table}[]
            \begin{tabular}{c|c}
                \textbf{力学} & \textbf{光学} \\ \hline
                莫培督原理 $\delta \int \vb{p}\cdot d\vb{q} = 0$ & 费马原理 $\delta \int n ds = 0$ \\
                $H(\vb{q}, \vb{p}) = E$ & 亥姆霍兹方程/程函方程 \\
            \end{tabular}
        \end{table}
        物理图像：波动力学的短波极限 $\to$ 几何光学/经典力学. 
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{7. 带电粒子的运动}
    \textbf{哈密顿量标准形式}：
    $$ H = \frac{1}{2m}(\vb{p} - q\vb{A})^2 + q\phi $$
    
    % \textbf{【样卷 Q1】磁单极子场}：
    % 已知 $\vec{A} = \frac{b(1-\cos\theta)}{r\sin\theta}\vec{e}_\phi$. 
    % \begin{enumerate}
    %     \item \textbf{拉氏量}：$L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2\sin^2\theta\dot{\phi}^2) + e b (1-\cos\theta)\dot{\phi}$. 
    %     \item \textbf{守恒量}：
    %     \begin{itemize}
    %         \item $t$ 缺 $\implies H = E$ 守恒. 
    %         \item $\phi$ 缺 $\implies p_\phi = \pdv{L}{\dot{\phi}} = m r^2 \sin^2\theta \dot{\phi} + eb(1-\cos\theta)$ 守恒. 
    %     \end{itemize}
    % \end{enumerate}
\end{frame}

% =================================================================
% 第六章：正则变换与 H-J 理论
% =================================================================
\section{第六章：正则变换与 H-J 理论}

\begin{frame}{8-10. 相空间原理、诺特定理与泊松代数}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{相空间哈密顿原理}：
        $$ \delta \int_{t_1}^{t_2} (p \dot{q} - H) dt = 0 $$
        $q, p$ 视为独立变分变量. 
        
        \item \textbf{诺特定理（逆定理）}：
        相空间中每一个守恒量 $G$ 都是某个单参数正则变换群的生成元. 
        $$ \dot{G} = \{G, H\} = 0 \iff G \text{ 守恒} $$
        
        \item \textbf{泊松括号}：
        $\{F, G\} = \sum (\pdv{F}{q}\pdv{G}{p} - \pdv{F}{p}\pdv{G}{q})$. 
        正则基本括号：$\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}$. 
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{11-12. 正则变换与生成函数}
    \textbf{保辛条件}：变换 $(q, p) \to (Q, P)$ 的雅可比矩阵 $\mat{M}$ 满足 $\mat{M}^T \mat{J} \mat{M} = \mat{J}$. 
    
    \textbf{四类生成函数}：
    \begin{table}[]
        \centering
        \small
        \begin{tabular}{c|c|c}
            \textbf{生成函数} & \textbf{正则变换关系} & \textbf{新哈密顿量} \\ \hline
            $F_1(q, Q, t)$ & $p = \pdv{F_1}{q}, \quad P = -\pdv{F_1}{Q}$ & $K = H + \pdv{F_1}{t}$ \\[0.3em]
            $F_2(q, P, t)$ & $p = \pdv{F_2}{q}, \quad Q = \pdv{F_2}{P}$ & $K = H + \pdv{F_2}{t}$ \\[0.3em]
            $F_3(p, Q, t)$ & $q = -\pdv{F_3}{p}, \quad P = -\pdv{F_3}{Q}$ & $K = H + \pdv{F_3}{t}$ \\[0.3em]
            $F_4(p, P, t)$ & $q = -\pdv{F_4}{p}, \quad Q = \pdv{F_4}{P}$ & $K = H + \pdv{F_4}{t}$ \\
        \end{tabular}
    \end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{【样卷解析】 验证变换正则性并计算生成函数}
    \textbf{题目（样卷 Q2）：} 以向下为$x$-轴的正方向，讨论落体运动. 
    \begin{enumerate}
        \item 设初始时刻的位移为$x(t=0) = x_0$，动量为$p(t=0) = p_0$，证明
    $$x(t), p(t) \to x_0, p_0$$
    是正则变换. 
        \item 对此变换逐个判断四种常用生成函数是否存在；若存在，则求出各生成函数表达式和哈密顿函数$K(t,x_0,p_0)$. 
        \item 分别求出初值$x_0,p_0$这两个守恒量所对应的(准)对称变换. 
    \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{13. 哈密顿-雅可比 (H-J) 理论（必考）}
    \begin{block}{基本思想}
        寻找一个正则变换（生成函数为 $S$），使得新哈密顿量 $K \equiv 0$. 
        此时新坐标 $Q=\beta$ 和新动量 $P=\alpha$ 均为常数，系统动力学被完全解出. 
    \end{block}

    \begin{block}{H-J 方程}
        $$ H\left(q_1, \dots, q_n, \pdv{S}{q_1}, \dots, \pdv{S}{q_n}, t\right) + \pdv{S}{t} = 0 $$
        其中 $S(q, \alpha, t)$ 称为\textbf{哈密顿主函数}（第二类生成函数 $F_2$ 的特例）. 
    \end{block}
    
    \textbf{分离变量法}：
    若 $H$ 不显含 $t$，设 $S(\vb{q}, \vb{\alpha}, t) = W(\vb{q}, \vb{\alpha}) - Et$. 
    $W$ 称为\textbf{哈密顿特征函数}，满足 $H(\vb{q}, \nabla W) = E$. 
\end{frame}

\begin{frame}{13. 自治体系H-J方法}
    对于H-J方程，常考的体系是自治体系，即哈密顿量不显含时间$t$，此时解题流程固定：
    \begin{enumerate}
        \item 写出H-J方程：$H(q, \pdv{S}{q}) + \pdv{S}{t} = 0$；
        \item 分离变量：设$S = W(q, \alpha) - Et$，得到$H(q, \pdv{W}{q}) = E$；
        \item 若系统有循环坐标，则对每个循环坐标$q_c$，设$W = p_c q_c + W'$，其中$p_c$为守恒动量，代入方程降阶；
        \item 求解特征函数$W$，得到运动方程：$\beta_i = \pdv{S}{\alpha_i}$.
    \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{【样卷解析】H-J 方程解拉格朗日陀螺}
    \textbf{题目（样卷 Q2）：} 质量为 $m$ 的拉格朗日陀螺，即重力场中绕定点转动的对称重陀螺，三个主转动惯量为 $I_1 = I_2 \neq I_3$，质心到固定点的距离为 $l$. 
    \begin{enumerate}
        \item 选取三个欧拉角作为广义坐标，写出哈密顿函数 $H(\theta,\phi,\psi, p_\theta,p_\phi,,p_{\psi})$；
        \item 利用哈密顿-雅可比方程,求哈密度主函数 $S(t,\phi,\psi)$. （可保留积分形式，无需求积）
    \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{例题}
        已知质量为 $m$ 电荷量为 $e$ 的带电粒子在静磁场 $\overrightarrow{B}=B\hat{e}_z$ 中的哈密顿量可以写成如下形式（采用高斯单位制）：
    \[
        H=\dfrac{1}{2m}(\overrightarrow{p}-e\overrightarrow{A})^2
    \]
    在合适的规范下我们选取 $\overrightarrow{A}=(-By,0,0)$.
    \begin{enumerate}
        \item 求体系的哈密顿特征函数所满足的条件，即哈密顿主函数 $S=W+T$ 中 $W(x,y,z)$ 所满足的方程；
        \item 利用分离变量法，求出 $W(x,y,z)$ 的具体形式；
        \item 利用哈密顿-雅可比方程求解粒子位置随时间的演化，即 $x(t),y(t),z(t)$ 的具体形式.
    \end{enumerate}

\end{frame}

% --- 总结 ---
\begin{frame}{复习总结}
    \begin{columns}
        \column{0.5\textwidth}
        \textbf{核心公式：}
        \begin{itemize}
            \item 微振动：$\det(\mat{V} - \omega^2 \mat{T}) = 0$
            \item 正则方程：$\dot{\vb{z}} = \mat{J} \nabla H$
            \item 泊松括号：$\{q, p\} = 1$
            \item H-J 方程：$H(q, \nabla S) + \partial_t S = 0$
        \end{itemize}
        
        \column{0.5\textwidth}
        \textbf{解题策略：}
        \begin{itemize}
            \item 遇到循环坐标 $\to$ 动量守恒 $\to$ 降阶. 
            \item 遇到正则变换 $\to$ 优先验证辛条件或泊松括号. 
            \item 求解复杂系统（如陀螺）$\to$ H-J 分离变量法. 
        \end{itemize}
    \end{columns}
    
    \vspace{2em}
    \centering
    \Large \textbf{祝大家期末考试取得优异成绩！}
\end{frame}

\end{document}