% --- 作业标题栏 ---
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
    \vspace{0.1cm} \\
    \large 作业09  参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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\hrule
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% --- 作业问题 ---
\section*{第二章 拉格朗日力学}

\paragraph{18.} 考虑讲稿中冰橇运动的例题，该系统有没有循环坐标？广义能量是否守恒？

\begin{solution}
回顾讲稿第29页中冰橇运动的拉格朗日量：
\[
    L = \dfrac{1}{2}M(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \dfrac{1}{2}I\dot{\theta}^2-Mg y\sin \alpha.
\]
一个首先的观察是，拉格朗日量 $L$ 中并不显含坐标 $x,\theta$，因此，$x,\theta$ 是该系统的一个循环坐标. 但实际上由于约束的存在，$x$ 是与 $y$ 相关联的，并不能单独作为一个自由度来看待. 因此，严格来说，该系统只有一个循环坐标 $\theta$. 这里强调一句话，希望同学们记住：
\begin{center}
\textbf{写拉格朗日量时，必须先把约束条件代入，消去所有的约束自由度，才能判断哪些坐标是循环坐标！}
\end{center}
与之对应的一个与本题无关的结论是：
\begin{center}
\textbf{写拉格朗日量时，禁止将守恒量带入！}
\end{center}

最后，由于拉格朗日量 $L$ 不显含时间 $t$，根据广义能量守恒定理，系统的广义能量守恒.
\end{solution}

\hrule
\paragraph{19.} Goodwin's growth cycle model, 1967
Goodwin 增长周期模型是关于总产值与就业率的简单动力学模型，运动方程是
$$ \begin{cases}\dot{u}=[-(\alpha+\gamma)+\rho v]u\\ \dot{v}=\left[\frac{1}{\sigma}(1-u)-(\alpha+\beta)\right]v\end{cases} $$
这里$u(t)$是劳动力收入占比，$v(t)$是就业率；$\alpha$是技术进步导致的生产力增长率，$\beta$是劳动人口增长率，$\sigma$是资本产出比，$\gamma$和$\rho$是两个正的常数。
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 验证此模型存在拉格朗日函数(Fernandez-Nuñez, 1998)
    $$ L(u,v,\dot{u},\dot{v})=\frac{1}{2}\left(\frac{\dot{v}}{v}\ln u-\frac{\dot{u}}{u}\ln v\right)+\left(\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma}\right)\ln u-(\alpha+\gamma)\ln v+\frac{1}{\sigma}u+\rho v $$
    \item[(2)] 写出广义能量积分 $H(u,v,\dot{u},\dot{v})$
    \item[(3)] 找出平衡点：$(u(t), v(t))$取什么样的初值 $(u_{0},v_{0})$，才会不随时间变化？
    \item[(4)] 把两个运动方程相除，可得$du/dv$不显式依赖于时间。积分求出$u, v$之间的函数关系。
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)] \textbf{验证拉格朗日函数}
    
    我们验证拉格朗日方程 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$。
    
    \textbf{对广义坐标 $u$}:
    \begin{align*}
        \frac{\partial L}{\partial \dot{u}} &= \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\ln v\right) \\
        \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{u}}\right) &= \frac{d}{dt}\left(-\frac{\ln v}{2u}\right) = -\frac{1}{2}\frac{(\frac{\dot{v}}{v})u - \dot{u}\ln v}{u^2} = -\frac{\dot{v}}{2uv} + \frac{\dot{u}\ln v}{2u^2} \\
        \frac{\partial L}{\partial u} &= \frac{1}{2}\left(\frac{\dot{v}}{v}\frac{1}{u} - (-\frac{\dot{u}}{u^2})\ln v\right) + \frac{1}{u}(\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma}) + \frac{1}{\sigma} \\
        &= \frac{\dot{v}}{2uv} + \frac{\dot{u}\ln v}{2u^2} + \frac{1}{u}(\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma}) + \frac{1}{\sigma}
    \end{align*}
    代入方程：
    $$ \left(-\frac{\dot{v}}{2uv} + \frac{\dot{u}\ln v}{2u^2}\right) - \left(\frac{\dot{v}}{2uv} + \frac{\dot{u}\ln v}{2u^2} + \frac{1}{u}(\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma}) + \frac{1}{\sigma}\right) = 0 $$
    $$ -\frac{\dot{v}}{uv} - \frac{1}{u}(\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma}) - \frac{1}{\sigma} = 0 $$
    $$ -\frac{\dot{v}}{v} - (\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma}) - \frac{u}{\sigma} = 0 $$
    $$ \frac{\dot{v}}{v} = -(\alpha+\beta) + \frac{1}{\sigma}(1-u) $$
    这正好是 $v$ 的运动方程。
    
    \textbf{对广义坐标 $v$}:
    \begin{align*}
        \frac{\partial L}{\partial \dot{v}} &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v}\ln u\right) \\
        \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{v}}\right) &= \frac{d}{dt}\left(\frac{\ln u}{2v}\right) = \frac{1}{2}\frac{(\frac{\dot{u}}{u})v - \dot{v}\ln u}{v^2} = \frac{\dot{u}}{2uv} - \frac{\dot{v}\ln u}{2v^2} \\
        \frac{\partial L}{\partial v} &= \frac{1}{2}\left(-\frac{\dot{v}}{v^2}\ln u - \frac{\dot{u}}{u}\frac{1}{v}\right) - \frac{1}{v}(\alpha+\gamma) + \rho \\
        &= -\frac{\dot{v}\ln u}{2v^2} - \frac{\dot{u}}{2uv} - \frac{1}{v}(\alpha+\gamma) + \rho
    \end{align*}
    代入方程：
    $$ \left(\frac{\dot{u}}{2uv} - \frac{\dot{v}\ln u}{2v^2}\right) - \left(-\frac{\dot{v}\ln u}{2v^2} - \frac{\dot{u}}{2uv} - \frac{1}{v}(\alpha+\gamma) + \rho\right) = 0 $$
    $$ \frac{\dot{u}}{uv} + \frac{1}{v}(\alpha+\gamma) - \rho = 0 $$
    $$ \frac{\dot{u}}{u} + (\alpha+\gamma) - \rho v = 0 $$
    $$ \frac{\dot{u}}{u} = -(\alpha+\gamma) + \rho v $$
    这正好是 $u$ 的运动方程。验证完毕。
    
    \item[(2)] \textbf{广义能量积分 $H$}
    $L$ 不显含时间 $t$，广义能量 $H = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i - L$ 守恒。
    \begin{align*}
        H &= \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{u}}\dot{u} + \frac{\partial L}{\partial \dot{v}}\dot{v}\right) - L \\
        &= \left(-\frac{\ln v}{2u}\dot{u} + \frac{\ln u}{2v}\dot{v}\right)\\
        &\quad  - \left[ \frac{1}{2}(\frac{\dot{v}}{v}\ln u-\frac{\dot{u}}{u}\ln v)+(\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma})\ln u-(\alpha+\gamma)\ln v+\frac{1}{\sigma}u+\rho v \right] \\
        &= \left(-\frac{\dot{u}}{2u}\ln v + \frac{\dot{v}}{2v}\ln u\right) - \frac{1}{2}(\frac{\dot{v}}{v}\ln u-\frac{\dot{u}}{u}\ln v) - \left[ \dots \right]_{\text{non-velocity terms}} \\
        &= 0 - \left[ (\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma})\ln u - (\alpha+\gamma)\ln v + \frac{1}{\sigma}u + \rho v \right] \\
        H &= -(\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma})\ln u + (\alpha+\gamma)\ln v - \frac{1}{\sigma}u - \rho v \quad \text{}
    \end{align*}
    
    \item[(3)] \textbf{平衡点}
    平衡点意味着 $\dot{u} = 0$ 且 $\dot{v} = 0$。
    \begin{itemize}
        \item $\dot{u}=[-(\alpha+\gamma)+\rho v]u = 0$。由于 $u \neq 0$，则：
        $$ -(\alpha+\gamma)+\rho v = 0 \implies v_0 = \frac{\alpha+\gamma}{\rho} $$
        \item $\dot{v}=[\frac{1}{\sigma}(1-u)-(\alpha+\beta)]v = 0$。由于 $v \neq 0$，则：
        $$ \frac{1}{\sigma}(1-u)-(\alpha+\beta) = 0 \implies 1-u = \sigma(\alpha+\beta) \implies u_0 = 1 - \sigma(\alpha+\beta) $$
    \end{itemize}
    
    \item[(4)] \textbf{$u, v$ 关系}
    将两个运动方程相除：
    $$ \frac{du}{dv} = \frac{\dot{u}}{\dot{v}} = \frac{[-(\alpha+\gamma)+\rho v]u}{[\frac{1}{\sigma}(1-u)-(\alpha+\beta)]v} $$
    分离变量：
    $$ \frac{[\frac{1}{\sigma}(1-u)-(\alpha+\beta)]}{u} du = \frac{[-(\alpha+\gamma)+\rho v]}{v} dv $$
    $$ \int \left[ \frac{1-u}{\sigma u} - \frac{\alpha+\beta}{u} \right] du = \int \left[ -\frac{\alpha+\gamma}{v} + \rho \right] dv $$
    $$ \int \left[ (\frac{1}{\sigma} - \alpha - \beta)\frac{1}{u} - \frac{1}{\sigma} \right] du = \int \left[ -(\alpha+\gamma)\frac{1}{v} + \rho \right] dv $$
    积分得到：
    $$ (\frac{1}{\sigma} - \alpha - \beta)\ln u - \frac{1}{\sigma}u = -(\alpha+\gamma)\ln v + \rho v + C $$
    
\end{enumerate}
\end{solution}