% --- 作业标题栏 ---
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
    \vspace{0.1cm} \\
    \large 作业 23  参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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\vspace{1cm}


% --- 作业问题 ---
\section*{第六章 哈密顿力学}

\paragraph{1.} 相对论粒子的拉氏函数是
$$ L(t,\vec{x},\dot{\vec{x}})=-\sqrt{1-\dot{\vec{x}}^{2}}-q[\phi(t,\vec{x})-\vec{A}(t,\vec{x})\cdot\dot{\vec{x}}] $$
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 检验拉氏函数是否奇异。
    \item[(2)] 作勒让德变换，求出哈密顿函数 $H(t,\vec{x},\vec{p})$。
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)]
    
    拉氏函数的Hessian矩阵定义为 $W_{ij} = \frac{\partial^2 L}{\partial v_i \partial v_j}$，其中 $v_i = \dot{x}_i$。
    相互作用项 $-q(\phi - \vec{A}\cdot\vec{v})$ 关于速度是线性的，其二阶导数为0。因此只需考虑动能项 $L_0 = -\sqrt{1-v^2}$。
    $$ \frac{\partial L}{\partial v_i} = -\frac{1}{2\sqrt{1-v^2}} (-2v_i) = \frac{v_i}{\sqrt{1-v^2}} $$
    $$ \frac{\partial^2 L}{\partial v_i \partial v_j} = \frac{\delta_{ij}\sqrt{1-v^2} - v_i \frac{-v_j}{\sqrt{1-v^2}}}{1-v^2} = \frac{(1-v^2)\delta_{ij} + v_i v_j}{(1-v^2)^{3/2}} $$
    根据简略答案，该 Hessian 矩阵的行列式为：
    $$ \det(W) = \frac{1}{(1-v^2)^{5/2}} \neq 0 $$
    (注：若考虑完整维度，$D$维空间中行列式为 $(1-v^2)^{-(D+2)/2}$)。由于行列式不为零，拉氏函数是非奇异的。

    \item[(2)]
    
    广义动量：
    $$ \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} = \frac{\dot{\vec{x}}}{\sqrt{1-\dot{\vec{x}}^2}} + q\vec{A} $$
    为了反解速度 $\dot{\vec{x}}$，定义机械动量 $\vec{P} = \vec{p} - q\vec{A}$：
    $$ \vec{P} = \frac{\dot{\vec{x}}}{\sqrt{1-\dot{\vec{x}}^2}} \implies P^2 = \frac{\dot{x}^2}{1-\dot{x}^2} \implies \dot{x}^2 = \frac{P^2}{1+P^2} $$
    且有 $\sqrt{1-\dot{x}^2} = \frac{1}{\sqrt{1+P^2}}$，故 $\dot{\vec{x}} = \frac{\vec{P}}{\sqrt{1+P^2}}$。
    
    哈密顿函数定义为：
    $$ H = \vec{p}\cdot\dot{\vec{x}} - L = \vec{p}\cdot\dot{\vec{x}} - \left( -\sqrt{1-\dot{x}^2} - q\phi + q\vec{A}\cdot\dot{\vec{x}} \right) $$
    $$ H = (\vec{p} - q\vec{A})\cdot\dot{\vec{x}} + \sqrt{1-\dot{x}^2} + q\phi = \vec{P}\cdot\dot{\vec{x}} + \sqrt{1-\dot{x}^2} + q\phi $$
    代入 $\dot{\vec{x}}$ 的表达式：
    $$ H = \frac{P^2}{\sqrt{1+P^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+P^2}} + q\phi = \frac{1+P^2}{\sqrt{1+P^2}} + q\phi = \sqrt{1+P^2} + q\phi $$
    即：
    $$ H(t, \vec{x}, \vec{p}) = \sqrt{1 + (\vec{p} - q\vec{A})^2} + q\phi $$
\end{enumerate}
\end{solution}

\hrule
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{\noindent\kaishu 以下三题，选做其二}

\paragraph{2.} 以向上为极轴，在球坐标下的写出球面摆的哈密顿量和哈密顿方程。在这个坐标系下，球面摆系统有哪些首次积分？

\begin{solution}
设摆长为 $l$，质量为 $m$。
以向上为极轴（$z$轴），球坐标定义为：$x = l\sin\theta\cos\varphi, y = l\sin\theta\sin\varphi, z = l\cos\theta$。
\begin{enumerate}
    \item 
    动能：$T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) = \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta}^2 + \sin^2\theta\dot{\varphi}^2)$。
    势能：$V = mgz = mgl\cos\theta$。
    $$ L = T - V = \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta}^2 + \sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - mgl\cos\theta $$
    
    \item 
    广义动量：
    $$ p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta}, \quad p_\varphi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = ml^2\sin^2\theta\dot{\varphi} $$
    哈密顿量 $H = p_\theta\dot{\theta} + p_\varphi\dot{\varphi} - L = T + V$（因 $L$ 关于广义速度是二次齐次函数且势能不含速度）：
    $$ H = \frac{p_\theta^2}{2ml^2} + \frac{p_\varphi^2}{2ml^2\sin^2\theta} + mgl\cos\theta $$
    
    \item 
    $$ \begin{cases}
    \dot{\theta} = \frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{ml^2} \\
    \dot{p}_\theta = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = \frac{p_\varphi^2 \cos\theta}{ml^2\sin^3\theta} + mgl\sin\theta \\
    \dot{\varphi} = \frac{\partial H}{\partial p_\varphi} = \frac{p_\varphi}{ml^2\sin^2\theta} \\
    \dot{p}_\varphi = -\frac{\partial H}{\partial \varphi} = 0
    \end{cases} $$
    
    \item
    \begin{itemize}
        \item $H$ 不显含时间 $t$，故哈密顿量（即总能量 $E$）守恒：$H = E = \text{const}$。
        \item $H$ 不显含坐标 $\varphi$（$\varphi$ 是循环坐标），故共轭动量守恒：$p_\varphi = ml^2\sin^2\theta\dot{\varphi} = L_z = \text{const}$（角动量 $z$ 分量守恒）。
    \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{solution}

\paragraph{3.} 光线在自聚焦光纤中传播时，已知在柱坐标系下的正则函数（哈密顿量）为
$$ H(r,\theta,z,p_{r},p_{\theta},p_{z})=\frac{1}{2n_{0}^{2}(1-\alpha^{2}r^{2})}(p_{r}^{2}+\frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}}+p_{z}^{2}) $$
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 该系统有哪些首次积分？
    \item[(2)] 求拉格朗日函数。
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)]
    哈密顿正则方程 $\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$。
    \begin{itemize}
        \item $H$ 不显含 $\theta$，$\theta$ 为循环坐标 $\implies p_\theta = \text{const}$。
        \item $H$ 不显含 $z$， $z$ 为循环坐标 $\implies p_z = \text{const}$。
        \item $H$ 不显含演化参数（类似于时间 $t$），故 $H$ 本身守恒：$H = \text{const}$。
    \end{itemize}
    因此，首次积分有 $H, p_\theta, p_z$。

    \item[(2)] 
    令 $A(r) = \frac{1}{n_0^2(1-\alpha^2 r^2)}$，则 $H = \frac{A}{2} (p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + p_z^2)$。
    根据哈密顿方程 $\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$：
    $$ \dot{r} = A p_r \implies p_r = \frac{\dot{r}}{A} $$
    $$ \dot{\theta} = A \frac{p_\theta}{r^2} \implies p_\theta = \frac{r^2 \dot{\theta}}{A} $$
    $$ \dot{z} = A p_z \implies p_z = \frac{\dot{z}}{A} $$
    拉格朗日函数 $L = \sum p_i \dot{q}_i - H$：
    \begin{align*}
        L &= \left(\frac{\dot{r}^2}{A} + \frac{r^2\dot{\theta}^2}{A} + \frac{\dot{z}^2}{A}\right) - \frac{A}{2} \left[ \left(\frac{\dot{r}}{A}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{r^2\dot{\theta}}{A}\right)^2 + \left(\frac{\dot{z}}{A}\right)^2 \right] \\
        &= \frac{1}{A}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2) - \frac{1}{2A}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2) \\
        &= \frac{1}{2A}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2)
    \end{align*}
    代入 $A(r)$ 的表达式：
    $$ L = \frac{1}{2} n_0^2 (1-\alpha^2 r^2) (\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2) $$
\end{enumerate}
\end{solution}

\paragraph{4.} 质量为$m$，电荷为$q$的带电粒子，在电磁场 $\vec{E}=\frac{E_{0}}{r}\vec{e}_{r}$，$\vec{B}=B_{0}\vec{e}_{z}$ 中运动，其中 $(r,\theta,z)$ 为柱坐标。写出系统的哈密顿函数和哈密顿方程。

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item
    电势 $\phi$：由 $\vec{E} = -\nabla \phi$，$\frac{\partial \phi}{\partial r} = -\frac{E_0}{r} \implies \phi = -E_0 \ln r$。
    矢势 $\vec{A}$：由 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A} = B_0 \vec{e}_z$，在对称规范下取 $\vec{A} = \frac{1}{2}B_0 r \vec{e}_\theta$。
    
    \item
    $$ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2) - q\phi + q\vec{A}\cdot\vec{v} $$
    $$ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2) + qE_0 \ln r + \frac{1}{2}qB_0 r^2 \dot{\theta} $$
    
    \item 
    广义动量：
    $$ p_r = m\dot{r}, \quad p_z = m\dot{z} $$
    $$ p_\theta = mr^2\dot{\theta} + \frac{1}{2}qB_0 r^2 $$
    反解速度：
    $$ \dot{r} = \frac{p_r}{m}, \quad \dot{z} = \frac{p_z}{m}, \quad \dot{\theta} = \frac{p_\theta - \frac{1}{2}qB_0 r^2}{mr^2} $$
    哈密顿函数 $H = \sum p_i \dot{q}_i - L$（或直接利用 $H = \frac{1}{2m}(\vec{p}-q\vec{A})^2 + q\phi$）：
    $$ H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{(p_\theta - \frac{1}{2}qB_0 r^2)^2}{2mr^2} + \frac{p_z^2}{2m} - qE_0 \ln r $$
    
    \item
    $$ \begin{cases}
    \dot{r} = \frac{\partial H}{\partial p_r} = \frac{p_r}{m} \\
    \dot{p}_r = -\frac{\partial H}{\partial r} = -\frac{\partial}{\partial r}\left[ \frac{(p_\theta - \frac{1}{2}qB_0 r^2)^2}{2mr^2} - qE_0 \ln r \right] \\
    \quad \ = \frac{(p_\theta - \frac{1}{2}qB_0 r^2)^2}{mr^3} + \frac{(p_\theta - \frac{1}{2}qB_0 r^2)qB_0}{m} + \frac{qE_0}{r} \\
    \dot{\theta} = \frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta - \frac{1}{2}qB_0 r^2}{mr^2} \\
    \dot{p}_\theta = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = 0 \quad (p_\theta \text{ 守恒}) \\
    \dot{z} = \frac{\partial H}{\partial p_z} = \frac{p_z}{m} \\
    \dot{p}_z = -\frac{\partial H}{\partial z} = 0 \quad (p_z \text{ 守恒})
    \end{cases} $$
\end{enumerate}
\end{solution}
