% --- 作业标题栏 ---
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
    \vspace{0.1cm} \\
    \large 作业 25  参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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% --- 作业问题 ---
\section*{第六章 哈密顿力学}

\paragraph{8.} 自由落体运动的哈密顿函数为 $$H(x,p)=\frac{1}{2m}p^{2}-mgx.$$
当 $k$ 取何值时，无穷小变换 $$\Delta t=0, \Delta x=\epsilon kp, \Delta p=\epsilon$$ 是相空间的准对称变换？写出诺特守恒量. 
\begin{solution}
    相空间中的无穷小变换 $\Delta x = \epsilon \frac{\partial G}{\partial p}, \Delta p = -\epsilon \frac{\partial G}{\partial x}$ 由生成元 $G$ 生成. 
    根据题目给出的变换：
    \begin{align*}
        \frac{\partial G}{\partial p} &= kp \implies G = \frac{1}{2}kp^2 + f(x) \\
        -\frac{\partial G}{\partial x} &= 1 \implies f(x) = -x + C
    \end{align*}
    忽略常数 $C$，生成元为 $G = \frac{1}{2}kp^2 - x$. 
    
    要使该变换为准对称变换（即生成诺特守恒量），生成元 $G$ 必须是运动常数，即满足泊松括号 $\{G, H\} = 0$（或 $\frac{dG}{dt}=0$）：
    \begin{align*}
        \{G, H\} &= \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial G}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial x} \\
        &= (-1)\left(\frac{p}{m}\right) - (kp)(-mg) \\
        &= -\frac{p}{m} + kmgp \\
        &= p\left(kmg - \frac{1}{m}\right)
    \end{align*}
    令 $\{G, H\} = 0$，解得：
    $$ kmg - \frac{1}{m} = 0 \implies k = \frac{1}{m^2 g} $$
    
    对应的诺特守恒量即为生成元 $G$：
    $$ G = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{m^2 g}\right)p^2 - x = \frac{p^2}{2m^2 g} - x $$
    即 $\frac{p^2}{2m^2 g} - x = \text{Const}$. 
\end{solution}

\paragraph{9.} 三维谐振子系统的哈密顿函数为 $$H=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k\vec{x}^{2}.$$已知二次型力学量
$$ G(\vec{x},\vec{p})\triangleq\sum_{i,j=1}^{3}\left\{\frac{1}{2}A_{ij}p_{i}p_{j}+\frac{1}{2}B_{ij}x_{i}x_{j}+C_{ij}x_{i}p_{j}\right\} $$
是守恒量，即 $\dd G/\dd t = 0$，其中系数矩阵 $A, B, C$ 是常数，且 $A, B$ 是对称矩阵. 

\begin{enumerate}
    \item 利用泊松定理判断：这三个系数矩阵必须满足什么条件？
    \item 由上面的结论知，$G$ 是一些基本守恒量的线性组合，这些线性无关的基本守恒量有几个？分别是哪些？
\end{enumerate}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 
    计算 $G$ 与 $H$ 的泊松括号：
    $$ \frac{\dd G}{\dd t} = \{G, H\} = \sum_{l} \left( \frac{\partial G}{\partial x_l}\frac{\partial H}{\partial p_l} - \frac{\partial G}{\partial p_l}\frac{\partial H}{\partial x_l} \right) $$
    已知：
    $$ \frac{\partial H}{\partial p_l} = \frac{p_l}{m}, \quad \frac{\partial H}{\partial x_l} = k x_l $$
    $$ \frac{\partial G}{\partial x_l} = \sum_{j} (B_{lj}x_j + C_{lj}p_j),\quad  \frac{\partial G}{\partial p_l} = \sum_{j} (A_{lj}p_j + C_{jl}x_j)$$
    
    代入泊松括号表达式：
    \begin{align*}
        \{G, H\} &= (\vec{x}^T B + \vec{p}^T C^T) \frac{\vec{p}}{m} - (\vec{p}^T A + \vec{x}^T C) (k\vec{x}) \\
        &= \frac{1}{m} \vec{x}^T B \vec{p} + \frac{1}{m} \vec{p}^T C^T \vec{p} - k \vec{p}^T A \vec{x} - k \vec{x}^T C \vec{x}
    \end{align*}
    整理各项：
    \begin{itemize}
        \item $\vec{p}^T C^T \vec{p}$：要使该项对任意 $\vec{p}$ 为 0，矩阵 $C^T$ 的对称部分必须为 0，即 $C$ 必须是反对称矩阵. 
        $$ C_{ij} = -C_{ji} $$
        此时该项与 $-k \vec{x}^T C \vec{x}$ 均自动为 0. 
        
        \item 交叉项 $\frac{1}{m} \vec{x}^T B \vec{p} - k \vec{p}^T A \vec{x}$：
        利用 $\vec{p}^T A \vec{x} = \vec{x}^T A^T \vec{p} = \vec{x}^T A \vec{p}$（$A$ 对称），上式变为：
        $$ \vec{x}^T \left( \frac{1}{m} B - k A \right) \vec{p} $$
        要使该式对任意 $\vec{x}, \vec{p}$ 恒为 0，需满足：
        $$ \frac{1}{m} B - k A = 0 \implies B = mk A $$
    \end{itemize}
    
    \textbf{结论}：系数矩阵必须满足：
    $$ B_{ij} = km A_{ij}, \quad C_{ij} = -C_{ji} $$

    \item[(2)]
    \begin{itemize}
        \item 由 $A_{ij}$ 确定的部分：$A$ 是 $3 \times 3$ 对称矩阵，有 6 个独立分量. 
        对应的守恒量为能量张量形式：
        $$ \frac{p_i p_j}{2m} + \frac{1}{2} k x_i x_j = \text{Const} \quad (i, j = 1, 2, 3) $$
        
        \item 由 $C_{ij}$ 确定的部分：$C$ 是 $3 \times 3$ 反对称矩阵，有 3 个独立分量. 
        对应的守恒量为角动量形式：
        $$ x_i p_j - x_j p_i = \text{Const} \quad (i \neq j) $$
    \end{itemize}
    
    \textbf{结论}：共有 \textbf{9} 个线性无关的基本守恒量（其中 6 个是独立的）. 
    它们分别是：
    \begin{enumerate}
        \item 6 个对称型守恒量（广义能量张量）：$\frac{p_i p_j}{2m} + \frac{1}{2} k x_i x_j$
        \item 3 个反对称型守恒量（角动量）：$L_k = \epsilon_{ijk} x_i p_j$ （即 $x_i p_j - x_j p_i$）
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}