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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
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    \large 作业17  参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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{\kaishu 共四题，选做其三}

\section*{第四章 对称性和守恒量}

\paragraph{1.} Lane-Emden 方程是 $$\ddot{q}+\frac{2}{t}\dot{q}+q^{5}=0.$$
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 验证这个方程对应的拉氏函数是 $$L=t^{2}(\frac{1}{2}\dot{q}^{2}-\frac{1}{6}q^{6}).$$
    \item[(2)] 证明尺度变换 $$t' = \lambda t, q'(t')=\lambda^{-\frac{1}{2}}q(t)$$ 是对称变换. 
    \item[(3)] 推广到 $$\ddot{q}+\frac{2}{t}\dot{q}+q^{n}=0,$$ 写出对应的拉氏函数，判断是否有尺度变换（准）对称性. 
    \item[(4)] 求尺度变换对应的诺特守恒量 $A$. 
    \item[(5)] 计算 $\dd A/\dd t$，并利用 Lane-Emden 方程验证等式 $\dd A/\dd t=0$. 
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)] \textbf{验证拉氏函数}
    $$ L = t^2 (\frac{1}{2}\dot{q}^2 - \frac{1}{6}q^6) $$
    欧拉-拉格朗日方程为 $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$. 
    $$ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = t^2 \dot{q}, \quad \frac{d}{dt}(t^2 \dot{q}) = 2t\dot{q} + t^2\ddot{q} $$
    $$ \frac{\partial L}{\partial q} = t^2 (-q^5) = -t^2 q^5 $$
    $$ 2t\dot{q} + t^2\ddot{q} - (-t^2 q^5) = 0 \implies t^2\ddot{q} + 2t\dot{q} + t^2 q^5 = 0 $$
    两边除以 $t^2$：
    $$ \ddot{q} + \frac{2}{t}\dot{q} + q^5 = 0 $$
    验证完毕. 

    \item[(2)] \textbf{证明对称变换}
    无穷小变换形式：$t' = (1+\epsilon)t \implies \delta t = \epsilon t, \xi = t$. 
    $q' = (1-\frac{1}{2}\epsilon)q \implies \delta q = -\frac{1}{2}\epsilon q, \eta = -\frac{1}{2}q$. 
    判断是否满足对称性条件：
    $$ \frac{\partial L}{\partial t}\xi + \frac{\partial L}{\partial q}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(\dot{\eta} - \dot{q}\dot{\xi}) + L\dot{\xi} = 0 $$
    $$ \xi = t, \quad \eta = -q/2, \quad \dot{\xi} = 1, \quad \dot{\eta} = -\dot{q}/2 $$
    代入 $L = \frac{1}{2}t^2\dot{q}^2 - \frac{1}{6}t^2 q^6$：
    \begin{align*}
        \text{LHS} &= (t\dot{q}^2 - \frac{1}{3}tq^6) t + (-t^2 q^5) (-q/2) + (t^2 \dot{q}) (-\dot{q}/2 - \dot{q}) + (\frac{1}{2}t^2\dot{q}^2 - \frac{1}{6}t^2 q^6) \\
        &= t^2\dot{q}^2 - \frac{1}{3}t^2 q^6 + \frac{1}{2}t^2 q^6 - \frac{3}{2}t^2\dot{q}^2 + \frac{1}{2}t^2\dot{q}^2 - \frac{1}{6}t^2 q^6 \\
        &= (1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2})t^2\dot{q}^2 + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6})t^2 q^6 \\
        &= 0
    \end{align*}
    满足对称性条件. 

    \item[(3)] \textbf{推广到 $n$ 次方}
    方程 $\ddot{q}+\frac{2}{t}\dot{q}+q^{n}=0$ 对应的拉氏函数为：
    $$ L_n = t^2 (\frac{1}{2}\dot{q}^2 - \frac{1}{n+1}q^{n+1}) $$
    尝试尺度变换 $\xi = t, \eta = \alpha q$. 
    代入对称性条件：
    \begin{align*}
        0 &= (t\dot{q}^2 - \frac{2}{n+1}tq^{n+1}) t + (-t^2 q^n) (\alpha q) + (t^2 \dot{q}) (\alpha\dot{q} - \dot{q}) + (\frac{1}{2}t^2\dot{q}^2 - \frac{1}{n+1}t^2 q^{n+1}) \\
        &= t^2\dot{q}^2 (1 + \alpha - 1 + \frac{1}{2}) + t^2 q^{n+1} (-\frac{2}{n+1} - \alpha - \frac{1}{n+1}) \\
        &= t^2\dot{q}^2 (\alpha + \frac{1}{2}) + t^2 q^{n+1} (-\alpha - \frac{3}{n+1})
    \end{align*}
    要使上式恒为零，需满足：
    $$ \alpha + \frac{1}{2} = 0 \quad \text{且} \quad -\alpha - \frac{3}{n+1} = 0 $$
    $$ \alpha = -1/2 \implies \frac{1}{2} - \frac{3}{n+1} = 0 \implies n+1 = 6 \implies n = 5 $$
    结论：只有当 $n=5$ 时，该系统才具有上述形式的尺度变换对称性. 

    \item[(4)] \textbf{求诺特守恒量}
    守恒量公式 $A = L\xi + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(\eta - \dot{q}\xi)$. 
    对于 $n=5$，$\xi = t, \eta = -q/2$. 
    \begin{align*}
        A &= ( \frac{1}{2}t^2\dot{q}^2 - \frac{1}{6}t^2 q^6 ) t + (t^2 \dot{q}) (-q/2 - \dot{q}t) \\
        &= \frac{1}{2}t^3\dot{q}^2 - \frac{1}{6}t^3 q^6 - \frac{1}{2}t^2 q \dot{q} - t^3 \dot{q}^2 \\
        &= -\frac{1}{2}t^3\dot{q}^2 - \frac{1}{6}t^3 q^6 - \frac{1}{2}t^2 q \dot{q}
    \end{align*}

    \item[(5)] \textbf{验证 $\dd A/\dd t=0$}
    \begin{align*}
        \frac{\dd A}{\dd t} &= -\frac{3}{2}t^2\dot{q}^2 - t^3\dot{q}\ddot{q} - \frac{1}{2}t^2 q^6 - t^3 q^5 \dot{q} - (t q \dot{q} + \frac{1}{2}t^2 \dot{q}^2 + \frac{1}{2}t^2 q \ddot{q}) \\
        &= -2t^2\dot{q}^2 - t^3\dot{q}\ddot{q} - \frac{1}{2}t^2 q^6 - t^3 q^5 \dot{q} - t q \dot{q} - \frac{1}{2}t^2 q \ddot{q}
    \end{align*}
    利用方程 $\ddot{q} = -\frac{2}{t}\dot{q} - q^5$ 代入消去 $\ddot{q}$：
    \begin{align*}
        \frac{\dd A}{\dd t} &= -2t^2\dot{q}^2 - t^3\dot{q}(-\frac{2}{t}\dot{q} - q^5) - \frac{1}{2}t^2 q^6 - t^3 q^5 \dot{q} - t q \dot{q} - \frac{1}{2}t^2 q (-\frac{2}{t}\dot{q} - q^5) \\
        &= -2t^2\dot{q}^2 + 2t^2\dot{q}^2 + t^3 q^5 \dot{q} - \frac{1}{2}t^2 q^6 - t^3 q^5 \dot{q} - t q \dot{q} + t q \dot{q} + \frac{1}{2}t^2 q^6 \\
        &= (-2+2)t^2\dot{q}^2 + (1-1)t^3 q^5 \dot{q} + (-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})t^2 q^6 + (-1+1)t q \dot{q} \\
        &= 0
    \end{align*}
    验证成立. 
\end{enumerate}
\end{solution}

\hrule
\paragraph{2.} 设振子与阻尼器耦合，阻力受到的阻力与速度成正比，运动方程为 $$m\dot{x}=-kx-a\dot{x}.$$ 
拉氏量为 $$L=\frac{1}{2}(m\dot{x}^{2}-kx^{2})\exp\left(\frac{\alpha}{m}t\right).$$
证明无穷小变换 $$t'=t+\epsilon, \quad x'=x-\epsilon\frac{\alpha x}{2m}$$ 是准对称变换，并求出对应的诺特守恒量. 

\begin{solution}
\textbf{证明准对称性}
无穷小生成元：$\xi = 1, \eta = -\frac{\alpha x}{2m}$. 
$L = e^{\frac{\alpha}{m}t} (\frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2)$. 
判别准对称条件：$\frac{\partial L}{\partial t}\xi + \frac{\partial L}{\partial x}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}(\dot{\eta} - \dot{x}\dot{\xi}) + L\dot{\xi} = \dot{K}$. 
\begin{align*}
    \text{LHS} &= \frac{\alpha}{m}L \cdot 1 + e^{\frac{\alpha}{m}t}(-kx)(-\frac{\alpha x}{2m}) + e^{\frac{\alpha}{m}t}(m\dot{x})(-\frac{\alpha \dot{x}}{2m}) + 0 \\
    &= \frac{\alpha}{m} e^{\frac{\alpha}{m}t} (\frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2) + e^{\frac{\alpha}{m}t} \frac{\alpha k x^2}{2m} - e^{\frac{\alpha}{m}t} \frac{\alpha \dot{x}^2}{2} \\
    &= e^{\frac{\alpha}{m}t} (\frac{\alpha}{2}\dot{x}^2 - \frac{\alpha k}{2m}x^2 + \frac{\alpha k}{2m}x^2 - \frac{\alpha}{2}\dot{x}^2) \\
    &= 0
\end{align*}
LHS 为 0，这意味着它是一个严格的对称变换（$K=const$ 或 $K=0$）. 

\textbf{诺特守恒量}
$$ A = L\xi + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}(\eta - \dot{x}\xi) - K $$
取 $K=0$. 
\begin{align*}
    A &= L \cdot 1 + m\dot{x} e^{\frac{\alpha}{m}t} (-\frac{\alpha x}{2m} - \dot{x}) \\
    &= \frac{1}{2}(m\dot{x}^2 - kx^2)e^{\frac{\alpha}{m}t} - \frac{\alpha}{2} x \dot{x} e^{\frac{\alpha}{m}t} - m\dot{x}^2 e^{\frac{\alpha}{m}t} \\
    &= e^{\frac{\alpha}{m}t} [ -\frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2 - \frac{\alpha}{2}x\dot{x} ]
\end{align*}
或者写成 $A = - \frac{1}{2} e^{\frac{\alpha}{m}t} (m\dot{x}^2 + kx^2 + \alpha x \dot{x})$. 
\end{solution}

\hrule
\paragraph{3.} Goodwin 增长周期模型的拉氏函数是
$$L(u,v,\dot{u},\dot{v})=\frac{1}{2}(\frac{\dot{v}}{v}\ln u-\frac{\dot{u}}{u}\ln v)+(\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma})\ln u-(\alpha+\gamma)\ln v+\frac{1}{\sigma}u+\rho v.$$
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 检验无穷小变换 $$t'=t, u'=\{1+\epsilon[-(\alpha+\gamma)+\rho v]\}u, v'=\{1+\epsilon[\frac{1}{\sigma}(1-u)-(\alpha+\beta)]\}v$$ 是否为准对称变换. 
    \item[(2)] 若上述变换是准对称变换，请写出对应的诺特守恒量. 
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)] \textbf{检验准对称性}
    变换对应的生成元：
    $\xi = 0$
    $\eta_u = [-(\alpha+\gamma)+\rho v]u$
    $\eta_v = [\frac{1}{\sigma}(1-u)-(\alpha+\beta)]v$
    这实际上是直接使用了运动方程 $\dot{u} = \eta_u, \dot{v} = \eta_v$ 的形式. 即变换是向着运动轨迹切向的变换（时间演化）. 
    对于不显含时间 $t$ 的拉氏量，沿真实运动轨迹的变换 $\delta q = \epsilon \dot{q}$ 总是对称变换，对应的守恒量就是广义能量（哈密顿量）. 
    这里 $\eta_u \approx \dot{u}, \eta_v \approx \dot{v}$. 
    代入准对称条件 $\frac{\partial L}{\partial q}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{\eta} = \dot{K}$. 
    或者直接利用性质：如果 $\xi=0, \eta=\dot{q}$，则 $\delta L = \frac{dL}{dt} \epsilon$，所以 $K=L$. 
    
    让我们验证 $\eta_u, \eta_v$ 是否就是运动方程给出的 $\dot{u}, \dot{v}$：
    题目中给出的变换式正是 Goodwin 模型的运动方程（参见作业 09）. 
    因此，这是一个对应于时间平移不变性的对称性，即 $L$ 不显含 $t$. 
    在这种情况下，生成元 $\eta_i$ 对应于广义速度 $\dot{q}_i$. 
    由此导致的拉氏量的变分是全微分 $\frac{dL}{dt}$. 
    所以这是一个准对称变换，规范函数 $K=L$. 

    \item[(2)] \textbf{诺特守恒量}
    守恒量公式 $A = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\eta_i - K$ （因为 $\xi=0$）. 
    这里 $\eta_u = \dot{u}, \eta_v = \dot{v}, K = L$. 
    $$ A = \frac{\partial L}{\partial \dot{u}}\dot{u} + \frac{\partial L}{\partial \dot{v}}\dot{v} - L $$
    这正是广义能量 $H$（或者是 $-H$，取决于符号定义，通常诺特流定义可能相差一个负号）. 
    利用作业 09 的结果，该守恒量为：
    $$ A = -(\alpha+\beta-\frac{1}{\sigma})\ln u + (\alpha+\gamma)\ln v - \frac{1}{\sigma}u - \rho v $$
\end{enumerate}
\end{solution}

\hrule
\paragraph{4.} “完美光具组”能够把任意一点无像差地成像在共轭点. 除了平面镜之外，1854 年麦克斯韦提出的麦克斯韦鱼眼，是唯一的完美光具组. 鱼眼的折射率为 
$$n(\vec{x})=\frac{n_{0}}{1+(r/a)^{2}}$$

上式中 $r$ 是到坐标原点的距离，参数$n_0 > 0,  a > 0$。

近年来有人发现，古老的鱼眼透镜可能还与量子纠缠有关.
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 请从拉氏函数验证，几何光学中的鱼眼系统具有转动对称性. 
    \item[(2)] 写出转动对称对应的诺特守恒量. 
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)] \textbf{验证转动对称性}
    费马原理的拉氏函数（以光程为作用量，参数为弧长或某个路径参数）：
    $$ L = n(\vec{x}) \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2} = \frac{n_0}{1+(r/a)^2} \sqrt{\dot{\vec{x}}^2} $$
    其中 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = |\vec{x}|$. 
    对于空间转动变换 $\vec{x}' = \mathbf{R}\vec{x}$（$\mathbf{R}$ 为正交矩阵），有：
    1. 标量 $r = |\vec{x}|$ 保持不变 $\implies n(r)$ 不变. 
    2. 速度大小 $|\dot{\vec{x}}|$ 保持不变（因为 $\dot{\vec{x}}' = \mathbf{R}\dot{\vec{x}} \implies |\dot{\vec{x}}'|^2 = \dot{\vec{x}}^T \mathbf{R}^T \mathbf{R} \dot{\vec{x}} = |\dot{\vec{x}}|^2$）. 
    因此，拉氏函数 $L$ 在转动变换下保持形式不变，具有转动对称性. 

    \item[(2)] \textbf{诺特守恒量}
    对于转动对称性，无穷小变换为 $\vec{x}' = \vec{x} + \vec{\epsilon} \times \vec{x}$，即 $\delta \vec{x} = \vec{\epsilon} \times \vec{x}$. 
    这对应三个独立的转动（绕 x, y, z 轴）. 
    诺特守恒量（矢量形式）为：
    $$ \vec{J} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} \times \vec{x} $$
    计算广义动量 $\vec{p}$：
    $$ \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} = n(r) \frac{\dot{\vec{x}}}{|\dot{\vec{x}}|} = n(r) \hat{t} \quad (\hat{t} \text{ 为切向单位矢量}) $$
    守恒量为：
    $$ \vec{J} = \vec{p} \times \vec{x} = n(r) (\hat{t} \times \vec{x}) $$
    这类似于力学中的角动量守恒. 在几何光学中，这意味着光线及其动量定义的“光学角动量”沿光路守恒. 
    $$ \vec{A} = \vec{x} \times (n \frac{\dd\vec{x}}{\dd s}) = \text{Const} $$
\end{enumerate}
\end{solution}