% --- 作业标题栏 ---
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{\Huge\it 理论力学 \normalfont A} \\
    \vspace{0.1cm} \\
    \large 作业03 参考答案 \\
\end{tabular}
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\begin{tabular}{@{}l}
    \textbf{学期：} 2025秋 \\
    \textbf{助教：} 于洪飞，张积翔 \\
    \textbf{日期：} \today \\
\end{tabular}
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% --- 作业问题 ---

\paragraph{11.} 利用球坐标的自然基（无需归一化）
$$ \vecc{e}_{r}\triangleq\frac{\partial\vecc{x}}{\partial r}, \qquad \vecc{e}_{\theta}\triangleq\frac{\partial\vecc{x}}{\partial \theta}, \qquad \vecc{e}_{\varphi}\triangleq\frac{\partial\vecc{x}}{\partial\varphi}. $$
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 计算度规矩阵 $g_{\alpha\beta}\triangleq\vecc{e}_{\alpha}\cdot\vecc{e}_{\beta}$，以及逆矩阵 $g^{\alpha\beta}$. 
    \item[(2)] 验证自然基的第二正交关系 $g^{\alpha\beta}\vecc{e}_{\alpha}\vecc{e}_{\beta}^{T}=\mathds{1}_{3\times3}$. 
    \item[(3)] 计算 $\sqrt{\det g}$，并与积分测度对比. 积分测度即体积元 $$\dd V=\rho(r,\theta,\varphi)\dd r\dd\theta \dd\varphi$$ 中的权重 $\rho(r,\theta,\varphi)$. 
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 首先，写出笛卡尔坐标与球坐标的关系：
    $$ \vecc{x} = (x, y, z) = (r\sin\theta\cos\varphi, r\sin\theta\sin\varphi, r\cos\theta). $$
    计算自然基矢：
    \begin{align*}
        \vecc{e}_r &= \frac{\partial\vecc{x}}{\partial r} = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta), \\
        \vecc{e}_\theta &= \frac{\partial\vecc{x}}{\partial \theta} = (r\cos\theta\cos\varphi, r\cos\theta\sin\varphi, -r\sin\theta), \\
        \vecc{e}_\varphi &= \frac{\partial\vecc{x}}{\partial \varphi} = (-r\sin\theta\sin\varphi, r\sin\theta\cos\varphi, 0).
    \end{align*}
    计算度规矩阵 $g_{\alpha\beta}=\vecc{e}_\alpha \cdot \vecc{e}_\beta$. 由于基矢是正交的，我们只需计算对角元：
    \begin{align*}
        g_{rr} &= \vecc{e}_r \cdot \vecc{e}_r = \sin^2\theta\cos^2\varphi + \sin^2\theta\sin^2\varphi + \cos^2\theta = 1, \\
        g_{\theta\theta} &= \vecc{e}_\theta \cdot \vecc{e}_\theta = r^2\cos^2\theta\cos^2\varphi + r^2\cos^2\theta\sin^2\varphi + r^2\sin^2\theta = r^2, \\
        g_{\varphi\varphi} &= \vecc{e}_\varphi \cdot \vecc{e}_\varphi = r^2\sin^2\theta\sin^2\varphi + r^2\sin^2\theta\cos^2\varphi = r^2\sin^2\theta.
    \end{align*}
    所以度规矩阵为：
    $$ (g_{\alpha\beta}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix}, $$
    逆矩阵 $g^{\alpha\beta}$ 就是对对角元取倒数：
    $$ (g^{\alpha\beta}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/(r^2\sin^2\theta) \end{pmatrix}. $$

    \item[(2)] 第二正交关系是 $g^{rr}\vecc{e}_r\vecc{e}_r^\top + g^{\theta\theta}\vecc{e}_\theta\vecc{e}_\theta^\top + g^{\varphi\varphi}\vecc{e}_\varphi\vecc{e}_\varphi^\top = \mathds{1}$. 
    注意到 $g^{\alpha\alpha} = 1/g_{\alpha\alpha} = 1/|\vecc{e}_\alpha|^2$. 令 $\hat{\vecc{e}}_\alpha = \vecc{e}_\alpha/|\vecc{e}_\alpha|$ 为归一化的标准基矢. 
    $$ g^{\alpha\beta}\vecc{e}_{\alpha}\vecc{e}_{\beta}^{T} = \sum_\alpha g^{\alpha\alpha}\vecc{e}_{\alpha}\vecc{e}_{\alpha}^{T} = \sum_\alpha \frac{1}{|\vecc{e}_\alpha|^2} \vecc{e}_{\alpha}\vecc{e}_{\alpha}^{T} = \sum_\alpha \left(\frac{\vecc{e}_\alpha}{|\vecc{e}_\alpha|}\right)\left(\frac{\vecc{e}_\alpha}{|\vecc{e}_\alpha|}\right)^\top = \sum_\alpha \hat{\vecc{e}}_\alpha \hat{\vecc{e}}_\alpha^\top. $$
    这正是完备性关系，对于任意正交归一基，其结果都为单位矩阵 $\mathds{1}_{3\times3}$. 

    \item[(3)] 计算行列式：
    $$ \det(g) = g_{rr} g_{\theta\theta} g_{\varphi\varphi} = 1 \cdot r^2 \cdot r^2\sin^2\theta = r^4\sin^2\theta, $$
    取平方根：
    $$ \sqrt{\det g} = \sqrt{r^4\sin^2\theta} = r^2\sin\theta. $$
    体积元的表达式为 $\dd V = \rho(r,\theta,\varphi) \dd r\dd \theta \dd \varphi = r^2\sin\theta \dd r\dd \theta \dd \varphi$. 
    对比可知，积分测度 $\rho(r,\theta,\varphi) = r^2\sin\theta$，这与我们计算的 $\sqrt{\det g}$ 完全一致. 
\end{enumerate}
\end{solution}

\hrule
\paragraph{12.} 狭义相对论的时空又称闵可夫斯基时空，其度规矩阵为
$$(g_{\mu\nu})=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix},$$
时空坐标 $x^\mu$ 是 $$(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct,x,y,z),$$在自然单位制下 $c=1$.
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 两个相邻时空点的坐标差是 $$x^{\prime \mu} - x^\mu = \dd x^\mu,$$$$(\dd x^\mu ) = (\dd t, \dd x, \dd y, \dd z).$$ 计算时空间隔（固有时 $\dd\tau$）的平方 $$(\dd\tau)^2 \triangleq g_{\mu\nu}\dd x^\mu \dd x^\nu = ?$$
    \item[(2)] 计算协变四矢量 $x_\mu$ 的分量 $(x_0, x_1, x_2, x_3)=?$
    \item[(3)] 可以证明，保持元时不变的连续变换
\[ x'^{\mu} = x'^{\mu}(x^0, x^1, x^2, x^3) \]
只能是非齐次线性变换
\[ x'^{\mu} = \Lambda_{\nu}^{\mu} x^{\nu} + a^{\mu} \]
上式中常数 \( a^{\mu} \) 表示时空平移的距离，矩阵 \( \Lambda_{\nu}^{\mu} \) 表示齐次洛伦兹变换。作为特例，在齐次洛伦兹变换下，任意四矢量 \( x^{\mu} \) 的变换为
\[ x'^{\mu} = \Lambda_{\nu}^{\mu} x^{\nu} \]
该变换保持模长不变，
\[ x'^{\mu} x'_{\mu} = x^{\mu} x_{\mu} \]
利用上述式，证明洛伦兹变换保持四矢量的内积不变，
\[ a'^{\mu} b'_{\mu} = a^{\mu} b_{\mu} \]
（提示：令 \( x^{\mu} = a^{\mu} + b^{\mu} \)）
    \item[(4)] 利用 (3) 的结论，证明 ${\Lambda}^\top\mathbf{g}{\Lambda}=\mathbf{g}$. 
\end{enumerate}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 时空间隔的平方是（应用爱因斯坦求和约定）：
    \begin{align*}
        (d\tau)^2 &= g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = g_{00}(dx^0)^2 + g_{11}(dx^1)^2 + g_{22}(dx^2)^2 + g_{33}(dx^3)^2 \\
        &= 1 \cdot (cdt)^2 + (-1)\cdot(dx)^2 + (-1)\cdot(dy)^2 + (-1)\cdot(dz)^2 \\
        &= c^2(dt)^2 - (dx)^2 - (dy)^2 - (dz)^2
    \end{align*}
    
    \item[(2)] 协变四矢量 $x_\mu = g_{\mu\nu}x^\nu$. 
    \begin{align*}
        x_0 &= g_{0\nu}x^\nu = g_{00}x^0 = 1 \cdot ct = ct \\
        x_1 &= g_{1\nu}x^\nu = g_{11}x^1 = -1 \cdot x = -x \\
        x_2 &= g_{2\nu}x^\nu = g_{22}x^2 = -1 \cdot y = -y \\
        x_3 &= g_{3\nu}x^\nu = g_{33}x^3 = -1 \cdot z = -z
    \end{align*}
    所以 $(x_0, x_1, x_2, x_3) = (ct, -x, -y, -z)$. 
    
    \item[(3)] 洛伦兹变换保持任意四矢量的模长不变，即 $x'^\mu x'_\mu = x^\mu x_\mu$. 
    令 $x^\mu = a^\mu + b^\mu$. 根据模长不变性：
    $$ (a'^\mu + b'^\mu)(a'_\mu + b'_\mu) = (a^\mu + b^\mu)(a_\mu + b_\mu) $$
    展开两边：
    $$ a'^\mu a'_\mu + a'^\mu b'_\mu + b'^\mu a'_\mu + b'^\mu b'_\mu = a^\mu a_\mu + a^\mu b_\mu + b^\mu a_\mu + b^\mu b_\mu $$
    由于内积是对称的 ($a^\mu b_\mu = b^\mu a_\mu$)，上式简化为：
    $$ a'^\mu a'_\mu + 2a'^\mu b'_\mu + b'^\mu b'_\mu = a^\mu a_\mu + 2a^\mu b_\mu + b^\mu b_\mu $$
    又因为模长不变性分别适用于 $a^\mu$ 和 $b^\mu$，即 $a'^\mu a'_\mu=a^\mu a_\mu$ 和 $b'^\mu b'_\mu=b^\mu b_\mu$. 从上式中减去这两项，得到：
    $$ 2a'^\mu b'_\mu = 2a^\mu b_\mu \implies a'^\mu b'_\mu = a^\mu b_\mu $$
    证毕. 
    
    \item[(4)] 四矢量的内积 $x^\mu x_\mu$ 可以用矩阵形式写作 $\mathbf{x}^\top\mathbf{g}\mathbf{x}$. 
    洛伦兹变换为 $\mathbf{x}'={\Lambda}\mathbf{x}$. 
    内积在洛伦兹变换下不变，所以：
    $$ \mathbf{x}'^\top\mathbf{g}\mathbf{x}' = \mathbf{x}^\top\mathbf{g}\mathbf{x} $$
    将 $\mathbf{x}'$ 代入左边：
    $$ ({\Lambda}\mathbf{x})^\top\mathbf{g}({\Lambda}\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top\mathbf{g}\mathbf{x} $$
    $$ \mathbf{x}^\top{\Lambda}^\top\mathbf{g}{\Lambda}\mathbf{x} = \mathbf{x}^\top\mathbf{g}\mathbf{x} $$
    由于此等式对任意矢量 $\mathbf{x}$ 都成立，所以矩阵本身必须相等：
    $$ {\Lambda}^\top\mathbf{g}{\Lambda} = \mathbf{g} $$
    证毕. 
\end{enumerate}
\end{solution}

{\noindent\kaishu 此题选做：}

13. 半径为1的球面是一个2维黎曼空间。以纬度 $\theta$ 和经度 $\varphi$ 作为流形的坐标参数，计算度规矩阵 $(g_{\mu\nu})$ 以及逆矩阵 $(g^{\mu\nu})$.

\begin{solution}
对于半径为1的球面，使用球坐标参数，其中 $\theta$ 是极角（纬度，从北极测量，范围 $0 \leq \theta \leq \pi$），$\varphi$ 是方位角（经度，范围 $0 \leq \varphi < 2\pi$）。从三维欧几里得空间诱导的线元为：
\[
ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2
\]
因此，度规矩阵为：
\[
g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \sin^2\theta
\end{pmatrix}
\]
逆矩阵可以通过求逆得到：
\[
g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sin^2\theta}
\end{pmatrix}
\]
\end{solution}

\newpage
\section*{第二章 拉格朗日力学}
\paragraph{1.} 一根右手螺旋形的钢丝沿垂直方向放置，螺矩为$d$，半径为$l$. 质量为$m$的珠子被穿在钢丝上，钢丝和珠子之间的摩擦系数为$\mu$. 在重力作用下，设摩擦力不足以阻止珠子下滑. 
\begin{enumerate}
    \item[(1)] 写出珠子满足的两个约束方程. 
    \item[(2)] 分别写出这两个约束面的法向量. 
    \item[(3)] 引进待定乘子，写出珠子所受的约束力. 
    \item[(4)] 根据牛顿第二定律，写出珠子的运动方程. 
\end{enumerate}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item[(1)]
    第一个约束是珠子在半径为 $l$ 的圆柱面上运动. 在笛卡尔坐标系中，方程为：
    $$ f_1(x, y, z) = x^2 + y^2 - l^2 = 0 $$
    第二个约束是螺旋线，螺矩为 $d$. 这表示 $z$ 坐标与方位角 $\phi = \arctan(y/x)$ 成正比，即 $z = \frac{d}{2\pi}\phi$. 由此可得：
    $$ f_2(x, y, z) = \tan\left(\frac{2\pi z}{d}\right) - \frac{y}{x} = 0 $$
    
    \item[(2)]
    法向量由约束方程的梯度给出 $\vecc{n} = \nabla f$. 
    对于第一个约束面（圆柱面）：
    $$ \vecc{n}_1 = \nabla f_1 = \left(\frac{\partial f_1}{\partial x}, \frac{\partial f_1}{\partial y}, \frac{\partial f_1}{\partial z}\right) = (2x, 2y, 0) $$
    可取其方向为 $\vecc{n}_1 = (x, y, 0)$. 
    对于第二个约束面（螺旋面）：
    $$ \vecc{n}_2 = \nabla f_2 = \left(\frac{y}{x^2}, -\frac{1}{x}, \frac{2\pi}{d}\sec^2\left(\frac{2\pi z}{d}\right)\right) $$
    利用 $y/x = \tan(2\pi z/d)$ 和 $\sec^2\alpha = 1+\tan^2\alpha$，以及 $x^2+y^2=l^2$，可将 $\vecc{n}_2$ 化简为与 $\left(\frac{y}{l^2}, -\frac{x}{l^2}, \frac{2\pi}{d}\right)$ 同向. 
    
    \item[(3)]
    约束力（法向支持力）$\vecc{F}_N$ 垂直于螺旋线，因此是两个约束面法向量的线性组合：
    $$ \vecc{F}_N = \lambda_1 \vecc{n}_1 + \lambda_2 \vecc{n}_2 $$
    其中 $\lambda_1, \lambda_2$ 是待定乘子（拉格朗日乘子）. 
    
    \item[(4)]
    珠子受三个力：重力 $\vecc{F}_g = -mg\vecc{e}_z$，法向约束力 $\vecc{F}_N$，以及摩擦力 $\vecc{F}_f$. 
    摩擦力与运动方向相反，大小为 $\mu |\vecc{F}_N|$. 设珠子的速度为 $\vecc{v}$，则 $\vecc{F}_f = -\mu |\vecc{F}_N| \frac{\vecc{v}}{|\vecc{v}|}$. 
    牛顿第二定律方程为：
    $$ m\ddot{\vecc{r}} = \vecc{F}_g + \vecc{F}_N + \vecc{F}_f $$
    $$ m\ddot{\vecc{r}} = -mg\vecc{e}_z + \lambda_1 \vecc{n}_1 + \lambda_2 \vecc{n}_2 - \mu |\lambda_1 \vecc{n}_1 + \lambda_2 \vecc{n}_2| \frac{\dot{\vecc{r}}}{|\dot{\vecc{r}}|} $$
    这是一个包含两个约束方程和三个坐标分量的微分方程系统，可以通过求解 $\lambda_1, \lambda_2$ 来确定运动. 
\end{enumerate}
\end{solution}